Trojúhelník 12 14 18
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 12
b = 14
c = 18
Obsah trojúhelníku: S = 83,90547078536
Obvod trojúhelníku: o = 44
Semiperimeter (poloobvod): s = 22
Úhel ∠ A = α = 41,7522205202° = 41°45'8″ = 0,72987134507 rad
Úhel ∠ B = β = 50,97771974348° = 50°58'38″ = 0,89897199387 rad
Úhel ∠ C = γ = 87,27105973632° = 87°16'14″ = 1,52331592642 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 13,98441179756
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 11,98663868362
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 9,32327453171
Těžnice: ta = 14,96766295471
Těžnice: tb = 13,60114705087
Těžnice: tc = 9,43439811321
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,8143850357
Poloměr opsané kružnice: R = 9,01102214684
Souřadnice vrcholů: A[18; 0] B[0; 0] C[7,55655555556; 9,32327453171]
Těžiště: T[8,51985185185; 3,10875817724]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9; 0,42990581652]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8; 3,8143850357]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 138,2487794798° = 138°14'52″ = 0,72987134507 rad
∠ B' = β' = 129,02328025652° = 129°1'22″ = 0,89897199387 rad
∠ C' = γ' = 92,72994026368° = 92°43'46″ = 1,52331592642 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=12 b=14 c=18
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=12+14+18=44
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=244=22
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=22(22−12)(22−14)(22−18) S=7040=83,9
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 83,9=13,98 vb=b2 S=142⋅ 83,9=11,99 vc=c2 S=182⋅ 83,9=9,32
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 18142+182−122)=41°45′8" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 18122+182−142)=50°58′38" γ=180°−α−β=180°−41°45′8"−50°58′38"=87°16′14"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=2283,9=3,81
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,814⋅ 2212⋅ 14⋅ 18=9,01
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 182−122=14,967 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 182+2⋅ 122−142=13,601 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 142−182=9,434
Vypočítat další trojúhelník