Trojúhelník 12 14 19

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 12
b = 14
c = 19

Obsah trojúhelníku: S = 83,8365776969
Obvod trojúhelníku: o = 45
Semiperimeter (poloobvod): s = 22,5

Úhel ∠ A = α = 39,07655206502° = 39°4'32″ = 0,68219964923 rad
Úhel ∠ B = β = 47,34111576513° = 47°20'28″ = 0,82662590727 rad
Úhel ∠ C = γ = 93,58333216985° = 93°35' = 1,63333370886 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 13,97326294948
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 11,9776539567
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 8,82548186283

Těžnice: t_a = 15,57224115024
Těžnice: t_b = 14,26553426177
Těžnice: t_c = 8,93302855497

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,7266034532
Poloměr opsané kružnice: R = 9,51986092245

Souřadnice vrcholů: A[19; 0] B[0; 0] C[8,13215789474; 8,82548186283]
Těžiště: T[9,04438596491; 2,94216062094]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9,5; -0,59549130765]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8,5; 3,7266034532]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 140,92444793498° = 140°55'28″ = 0,68219964923 rad
∠ B' = β' = 132,65988423487° = 132°39'32″ = 0,82662590727 rad
∠ C' = γ' = 86,41766783015° = 86°25' = 1,63333370886 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 12 b = 14 c = 19

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 12 + 14 + 19 = 45

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 5}{2} = 22, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 22, 5 (22, 5 - 12) (22, 5 - 14) (22, 5 - 19) S = 7028, 44 = 83, 84

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 3 , 8 4}{1 2} = 13, 97 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 3 , 8 4}{1 4} = 11, 98 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 3 , 8 4}{1 9} = 8, 82

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 1 9 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 1 9}) = 39 ° 4^{'} 32 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 9 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 9}) = 47 ° 2 0^{'} 28 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 39 ° 4^{'} 32 " - 47 ° 2 0^{'} 28 " = 93 ° 3 5^{'}

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 3 , 8 4}{2 2 , 5} = 3, 73

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 4 \cdot 1 9}{4 \cdot 3 , 7 2 6 \cdot 2 2 , 5} = 9, 52

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 15, 572 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 14, 265 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 8, 93

Vypočítat další trojúhelník