Trojúhelník 12 14 20
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 12
b = 14
c = 20
Obsah trojúhelníku: S = 82,65498638837
Obvod trojúhelníku: o = 46
Semiperimeter (poloobvod): s = 23
Úhel ∠ A = α = 36,18222872212° = 36°10'56″ = 0,63215000429 rad
Úhel ∠ B = β = 43,53111521674° = 43°31'52″ = 0,76597619325 rad
Úhel ∠ C = γ = 100,28765606115° = 100°17'12″ = 1,75503306782 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 13,7754977314
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 11,8077123412
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 8,26549863884
Těžnice: ta = 16,18664140562
Těžnice: tb = 14,93331845231
Těžnice: tc = 8,36766002653
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,59334723428
Poloměr opsané kružnice: R = 10,1633356121
Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[8,7; 8,26549863884]
Těžiště: T[9,56766666667; 2,75549954628]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; -1,81548850216]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9; 3,59334723428]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 143,81877127789° = 143°49'4″ = 0,63215000429 rad
∠ B' = β' = 136,46988478326° = 136°28'8″ = 0,76597619325 rad
∠ C' = γ' = 79,71334393885° = 79°42'48″ = 1,75503306782 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=12 b=14 c=20
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=12+14+20=46
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=246=23
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=23(23−12)(23−14)(23−20) S=6831=82,65
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 82,65=13,77 vb=b2 S=142⋅ 82,65=11,81 vc=c2 S=202⋅ 82,65=8,26
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 20142+202−122)=36°10′56" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 20122+202−142)=43°31′52" γ=180°−α−β=180°−36°10′56"−43°31′52"=100°17′12"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=2382,65=3,59
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,593⋅ 2312⋅ 14⋅ 20=10,16
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 202−122=16,186 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 202+2⋅ 122−142=14,933 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 142−202=8,367
Vypočítat další trojúhelník