Trojúhelník 12 15 15
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 12
b = 15
c = 15
Obsah trojúhelníku: S = 82,48663625092
Obvod trojúhelníku: o = 42
Semiperimeter (poloobvod): s = 21
Úhel ∠ A = α = 47,15663569564° = 47°9'23″ = 0,82330336921 rad
Úhel ∠ B = β = 66,42218215218° = 66°25'19″ = 1,15992794807 rad
Úhel ∠ C = γ = 66,42218215218° = 66°25'19″ = 1,15992794807 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 13,74877270849
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 10,99881816679
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 10,99881816679
Těžnice: ta = 13,74877270849
Těžnice: tb = 11,32547516529
Těžnice: tc = 11,32547516529
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,92879220242
Poloměr opsané kružnice: R = 8,18331708838
Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[4,8; 10,99881816679]
Těžiště: T[6,6; 3,6666060556]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; 3,27332683535]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 3,92879220242]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 132,84436430436° = 132°50'37″ = 0,82330336921 rad
∠ B' = β' = 113,57881784782° = 113°34'41″ = 1,15992794807 rad
∠ C' = γ' = 113,57881784782° = 113°34'41″ = 1,15992794807 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=12 b=15 c=15
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=12+15+15=42
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=242=21
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=21(21−12)(21−15)(21−15) S=6804=82,49
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 82,49=13,75 vb=b2 S=152⋅ 82,49=11 vc=c2 S=152⋅ 82,49=11
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 15⋅ 15152+152−122)=47°9′23" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 15122+152−152)=66°25′19" γ=180°−α−β=180°−47°9′23"−66°25′19"=66°25′19"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=2182,49=3,93
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,928⋅ 2112⋅ 15⋅ 15=8,18
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 152+2⋅ 152−122=13,748 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 122−152=11,325 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 152−152=11,325
Vypočítat další trojúhelník