Trojúhelník 12 15 16

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 12
b = 15
c = 16

Obsah trojúhelníku: S = 85,45113750621
Obvod trojúhelníku: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5

Úhel ∠ A = α = 45,40656099767° = 45°24'20″ = 0,7922477393 rad
Úhel ∠ B = β = 62,88881400862° = 62°53'17″ = 1,0987605105 rad
Úhel ∠ C = γ = 71,70662499371° = 71°42'22″ = 1,25215101557 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 14,24218958437
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 11,39435166749
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 10,68114218828

Těžnice: t_a = 14.33003496461
Těžnice: t_b = 11,99895788083
Těžnice: t_c = 10,97772492001

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,9744482561
Poloměr opsané kružnice: R = 8,42658445166

Souřadnice vrcholů: A[16; 0] B[0; 0] C[5,469875; 10,68114218828]
Těžiště: T[7,156625; 3,56604739609]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8; 2,64547789733]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 3,9744482561]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 134,59443900233° = 134°35'40″ = 0,7922477393 rad
∠ B' = β' = 117,11218599138° = 117°6'43″ = 1,0987605105 rad
∠ C' = γ' = 108,29437500629° = 108°17'37″ = 1,25215101557 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 12 b = 15 c = 16

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 12 + 15 + 16 = 43

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 3}{2} = 21, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 21, 5 (21, 5 - 12) (21, 5 - 15) (21, 5 - 16) S = 7301, 94 = 85, 45

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 5 , 4 5}{1 2} = 14, 24 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 5 , 4 5}{1 5} = 11, 39 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 5 , 4 5}{1 6} = 10, 68

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 1 6 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 1 6}) = 45 ° 2 4^{'} 20 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 6 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 6}) = 62 ° 5 3^{'} 17 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 45 ° 2 4^{'} 20 " - 62 ° 5 3^{'} 17 " = 71 ° 4 2^{'} 22 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 5 , 4 5}{2 1 , 5} = 3, 97

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 5 \cdot 1 6}{4 \cdot 3 , 9 7 4 \cdot 2 1 , 5} = 8, 43

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 14, 3 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 11, 99 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 10, 977

Vypočítat další trojúhelník