Trojúhelník 12 15 17

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 12
b = 15
c = 17

Obsah trojúhelníku: S = 87,75496438739
Obvod trojúhelníku: o = 44
Semiperimeter (poloobvod): s = 22

Úhel ∠ A = α = 43,4990358347° = 43°29'25″ = 0,7599049946 rad
Úhel ∠ B = β = 59,34992300599° = 59°20'57″ = 1,03658394731 rad
Úhel ∠ C = γ = 77,16604115931° = 77°9'37″ = 1,34767032345 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 14,62549406457
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 11.76999525165
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 10,32334875146

Těžnice: t_a = 14,86660687473
Těžnice: t_b = 12,65989889012
Těžnice: t_c = 10,59548100502

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,98986201761
Poloměr opsané kružnice: R = 8,71879840992

Souřadnice vrcholů: A[17; 0] B[0; 0] C[6,11876470588; 10,32334875146]
Těžiště: T[7,70658823529; 3,44111625049]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8,5; 1,93773297998]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7; 3,98986201761]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 136,5109641653° = 136°30'35″ = 0,7599049946 rad
∠ B' = β' = 120,65107699401° = 120°39'3″ = 1,03658394731 rad
∠ C' = γ' = 102,84395884069° = 102°50'23″ = 1,34767032345 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 12 b = 15 c = 17

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 12 + 15 + 17 = 44

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 4}{2} = 22

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 22 (22 - 12) (22 - 15) (22 - 17) S = 7700 = 87, 75

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 7 , 7 5}{1 2} = 14, 62 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 7 , 7 5}{1 5} = 11, 7 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 7 , 7 5}{1 7} = 10, 32

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 1 7}) = 43 ° 2 9^{'} 25 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 7}) = 59 ° 2 0^{'} 57 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 43 ° 2 9^{'} 25 " - 59 ° 2 0^{'} 57 " = 77 ° 9^{'} 37 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 7 , 7 5}{2 2} = 3, 99

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 5 \cdot 1 7}{4 \cdot 3 , 9 8 9 \cdot 2 2} = 8, 72

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 14, 866 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 12, 659 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 10, 595

Vypočítat další trojúhelník