Trojúhelník 12 15 20

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 12
b = 15
c = 20

Obsah trojúhelníku: S = 89,66656985697
Obvod trojúhelníku: o = 47
Semiperimeter (poloobvod): s = 23,5

Úhel ∠ A = α = 36,71104466683° = 36°42'38″ = 0,64107181642 rad
Úhel ∠ B = β = 48,35496321995° = 48°20'59″ = 0,8443860274 rad
Úhel ∠ C = γ = 94,94399211322° = 94°56'24″ = 1,65770142153 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 14,9444283095
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 11,9555426476
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 8,9676569857

Těžnice: t_a = 16,62882891483
Těžnice: t_b = 14,68884308216
Těžnice: t_c = 9,19223881554

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,81655616413
Poloměr opsané kružnice: R = 10,03772830899

Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[7,975; 8,9676569857]
Těžiště: T[9,325; 2,9898856619]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; -0,86443215994]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8,5; 3,81655616413]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 143,29895533317° = 143°17'22″ = 0,64107181642 rad
∠ B' = β' = 131,65503678005° = 131°39'1″ = 0,8443860274 rad
∠ C' = γ' = 85,06600788678° = 85°3'36″ = 1,65770142153 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 12 b = 15 c = 20

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 12 + 15 + 20 = 47

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 7}{2} = 23, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 23, 5 (23, 5 - 12) (23, 5 - 15) (23, 5 - 20) S = 8039, 94 = 89, 67

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 9 , 6 7}{1 2} = 14, 94 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 9 , 6 7}{1 5} = 11, 96 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 9 , 6 7}{2 0} = 8, 97

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 0}) = 36 ° 4 2^{'} 38 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 0}) = 48 ° 2 0^{'} 59 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 36 ° 4 2^{'} 38 " - 48 ° 2 0^{'} 59 " = 94 ° 5 6^{'} 24 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 9 , 6 7}{2 3 , 5} = 3, 82

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 5 \cdot 2 0}{4 \cdot 3 , 8 1 6 \cdot 2 3 , 5} = 10, 04

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 16, 628 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 14, 688 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 9, 192

Vypočítat další trojúhelník