Trojúhelník 12 15 21

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 12
b = 15
c = 21

Obsah trojúhelníku: S = 88,18216307402
Obvod trojúhelníku: o = 48
Semiperimeter (poloobvod): s = 24

Úhel ∠ A = α = 34,048773237° = 34°2'52″ = 0,59442450327 rad
Úhel ∠ B = β = 44,41553085972° = 44°24'55″ = 0,77551933733 rad
Úhel ∠ C = γ = 101,53769590328° = 101°32'13″ = 1,77221542476 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 14,69769384567
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 11,75875507654
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 8,39882505467

Těžnice: t_a = 17,23436879396
Těžnice: t_b = 15,37704261489
Těžnice: t_c = 8,61768439698

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,67442346142
Poloměr opsané kružnice: R = 10,71765176247

Souřadnice vrcholů: A[21; 0] B[0; 0] C[8,57114285714; 8,39882505467]
Těžiště: T[9,85771428571; 2,79994168489]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10,5; -2,14333035249]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9; 3,67442346142]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 145,952226763° = 145°57'8″ = 0,59442450327 rad
∠ B' = β' = 135,58546914028° = 135°35'5″ = 0,77551933733 rad
∠ C' = γ' = 78,46330409672° = 78°27'47″ = 1,77221542476 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 12 b = 15 c = 21

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 12 + 15 + 21 = 48

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 8}{2} = 24

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 24 (24 - 12) (24 - 15) (24 - 21) S = 7776 = 88, 18

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 8 , 1 8}{1 2} = 14, 7 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 8 , 1 8}{1 5} = 11, 76 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 8 , 1 8}{2 1} = 8, 4

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 1 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 1}) = 34 ° 2^{'} 52 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 1 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 1}) = 44 ° 2 4^{'} 55 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 34 ° 2^{'} 52 " - 44 ° 2 4^{'} 55 " = 101 ° 3 2^{'} 13 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 8 , 1 8}{2 4} = 3, 67

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 5 \cdot 2 1}{4 \cdot 3 , 6 7 4 \cdot 2 4} = 10, 72

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 17, 234 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 15, 37 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 8, 617

Vypočítat další trojúhelník