Trojúhelník 12 15 22

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 12
b = 15
c = 22

Obsah trojúhelníku: S = 85,28444505171
Obvod trojúhelníku: o = 49
Semiperimeter (poloobvod): s = 24,5

Úhel ∠ A = α = 31,12328957773° = 31°7'22″ = 0,54331970041 rad
Úhel ∠ B = β = 40,2487773648° = 40°14'52″ = 0,70224561668 rad
Úhel ∠ C = γ = 108,62993305747° = 108°37'46″ = 1,89659394828 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 14,21440750862
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 11,37112600689
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 7,75331318652

Těžnice: t_a = 17,84765682976
Těžnice: t_b = 16,0554594358
Těžnice: t_c = 7,96986887253

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,48109979803
Poloměr opsané kružnice: R = 11,60882122122

Souřadnice vrcholů: A[22; 0] B[0; 0] C[9,15990909091; 7,75331318652]
Těžiště: T[10,38663636364; 2,58443772884]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11; -3,70881789011]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9,5; 3,48109979803]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 148,87771042227° = 148°52'38″ = 0,54331970041 rad
∠ B' = β' = 139,7522226352° = 139°45'8″ = 0,70224561668 rad
∠ C' = γ' = 71,37106694253° = 71°22'14″ = 1,89659394828 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 12 b = 15 c = 22

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 9}{2} = 24, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 24, 5 (24, 5 - 12) (24, 5 - 15) (24, 5 - 22) S = 7273, 44 = 85, 28

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 5 , 2 8}{1 2} = 14, 21 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 5 , 2 8}{1 5} = 11, 37 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 5 , 2 8}{2 2} = 7, 75

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 2}) = 31 ° 7^{'} 22 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 2}) = 40 ° 1 4^{'} 52 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 31 ° 7^{'} 22 " - 40 ° 1 4^{'} 52 " = 108 ° 3 7^{'} 46 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 5 , 2 8}{2 4 , 5} = 3, 48

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 5 \cdot 2 2}{4 \cdot 3 , 4 8 1 \cdot 2 4 , 5} = 11, 61

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 17, 847 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 16, 055 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 7, 969

Vypočítat další trojúhelník