Trojúhelník 12 15 24
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 12
b = 15
c = 24
Obsah trojúhelníku: S = 73,63438067738
Obvod trojúhelníku: o = 51
Semiperimeter (poloobvod): s = 25,5
Úhel ∠ A = α = 24,14768479965° = 24°8'49″ = 0,42114420015 rad
Úhel ∠ B = β = 30,75435198081° = 30°45'13″ = 0,53767501772 rad
Úhel ∠ C = γ = 125.10996321954° = 125°5'59″ = 2,18334004748 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 12,2722301129
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 9,81878409032
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 6,13661505645
Těžnice: ta = 19,0921883092
Těžnice: tb = 17,42884250579
Těžnice: tc = 6,36439610307
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,88876002656
Poloměr opsané kružnice: R = 14,66771759525
Souřadnice vrcholů: A[24; 0] B[0; 0] C[10,31325; 6,13661505645]
Těžiště: T[11,43875; 2,04553835215]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12; -8,43436261727]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[10,5; 2,88876002656]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 155,85331520035° = 155°51'11″ = 0,42114420015 rad
∠ B' = β' = 149,24664801919° = 149°14'47″ = 0,53767501772 rad
∠ C' = γ' = 54.99003678046° = 54°54'1″ = 2,18334004748 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=12 b=15 c=24
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=12+15+24=51
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=251=25,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=25,5(25,5−12)(25,5−15)(25,5−24) S=5421,94=73,63
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 73,63=12,27 vb=b2 S=152⋅ 73,63=9,82 vc=c2 S=242⋅ 73,63=6,14
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 15⋅ 24152+242−122)=24°8′49" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 24122+242−152)=30°45′13" γ=180°−α−β=180°−24°8′49"−30°45′13"=125°5′59"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=25,573,63=2,89
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,888⋅ 25,512⋅ 15⋅ 24=14,67
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 152+2⋅ 242−122=19,092 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 242+2⋅ 122−152=17,428 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 152−242=6,364
Vypočítat další trojúhelník