Trojúhelník 12 15 25

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 12
b = 15
c = 25

Obsah trojúhelníku: S = 63,27771680782
Obvod trojúhelníku: o = 52
Semiperimeter (poloobvod): s = 26

Úhel ∠ A = α = 19,72333084717° = 19°43'24″ = 0,34442366722 rad
Úhel ∠ B = β = 24,95113010927° = 24°57'5″ = 0,43554823567 rad
Úhel ∠ C = γ = 135,32553904356° = 135°19'31″ = 2,36218736246 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 10,54661946797
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,43769557438
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 5,06221734463

Těžnice: t_a = 19,72330829233
Těžnice: t_b = 18,1187670932
Těžnice: t_c = 5,31550729064

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,43437372338
Poloměr opsané kružnice: R = 17,77989245974

Souřadnice vrcholů: A[25; 0] B[0; 0] C[10,88; 5,06221734463]
Těžiště: T[11,96; 1,68773911488]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12,5; -12,64327908248]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11; 2,43437372338]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 160,27766915283° = 160°16'36″ = 0,34442366722 rad
∠ B' = β' = 155,04986989073° = 155°2'55″ = 0,43554823567 rad
∠ C' = γ' = 44,67546095644° = 44°40'29″ = 2,36218736246 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 12 b = 15 c = 25

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 12 + 15 + 25 = 52

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 2}{2} = 26

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 26 (26 - 12) (26 - 15) (26 - 25) S = 4004 = 63, 28

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 3 , 2 8}{1 2} = 10, 55 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 3 , 2 8}{1 5} = 8, 44 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 3 , 2 8}{2 5} = 5, 06

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 5}) = 19 ° 4 3^{'} 24 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 5}) = 24 ° 5 7^{'} 5 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 19 ° 4 3^{'} 24 " - 24 ° 5 7^{'} 5 " = 135 ° 1 9^{'} 31 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 3 , 2 8}{2 6} = 2, 43

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 5 \cdot 2 5}{4 \cdot 2 , 4 3 4 \cdot 2 6} = 17, 78

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 19, 723 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 18, 118 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 5, 315

Vypočítat další trojúhelník