Trojúhelník 12 16 19

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 12
b = 16
c = 19

Obsah trojúhelníku: S = 95,50435994086
Obvod trojúhelníku: o = 47
Semiperimeter (poloobvod): s = 23,5

Úhel ∠ A = α = 38,92657794574° = 38°55'33″ = 0,67993830154 rad
Úhel ∠ B = β = 56,90333738225° = 56°54'12″ = 0,99331512287 rad
Úhel ∠ C = γ = 84,17108467201° = 84°10'15″ = 1,46990584095 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 15,91772665681
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 11,93879499261
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 10,05330104641

Těžnice: t_a = 16,50875740192
Těžnice: t_b = 13,73295302177
Těžnice: t_c = 10,47661634199

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,06439829536
Poloměr opsané kružnice: R = 9,54993783025

Souřadnice vrcholů: A[19; 0] B[0; 0] C[6,55326315789; 10,05330104641]
Těžiště: T[8,51875438596; 3,3511003488]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9,5; 0,97698587338]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,5; 4,06439829536]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 141,07442205426° = 141°4'27″ = 0,67993830154 rad
∠ B' = β' = 123,09766261776° = 123°5'48″ = 0,99331512287 rad
∠ C' = γ' = 95,82991532799° = 95°49'45″ = 1,46990584095 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 12 b = 16 c = 19

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 12 + 16 + 19 = 47

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 7}{2} = 23, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 23, 5 (23, 5 - 12) (23, 5 - 16) (23, 5 - 19) S = 9120, 94 = 95, 5

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 5 , 5}{1 2} = 15, 92 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 5 , 5}{1 6} = 11, 94 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 5 , 5}{1 9} = 10, 05

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 1 9 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 1 9}) = 38 ° 5 5^{'} 33 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 9 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 9}) = 56 ° 5 4^{'} 12 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 38 ° 5 5^{'} 33 " - 56 ° 5 4^{'} 12 " = 84 ° 1 0^{'} 15 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 5 , 5}{2 3 , 5} = 4, 06

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 6 \cdot 1 9}{4 \cdot 4 , 0 6 4 \cdot 2 3 , 5} = 9, 55

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 16, 508 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 13, 73 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 10, 476

Vypočítat další trojúhelník