Trojúhelník 12 16 22

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 12
b = 16
c = 22

Obsah trojúhelníku: S = 93,6754969976
Obvod trojúhelníku: o = 50
Semiperimeter (poloobvod): s = 25

Úhel ∠ A = α = 32,15772086093° = 32°9'26″ = 0,56112491685 rad
Úhel ∠ B = β = 45,20771662976° = 45°12'26″ = 0,78990138974 rad
Úhel ∠ C = γ = 102,6365625093° = 102°38'8″ = 1,79113295877 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 15,6122494996
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 11,7099371247
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 8,51659063615

Těžnice: t_a = 18,27656668825
Těžnice: t_b = 15,81113883008
Těžnice: t_c = 8,88881944173

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,7476998799
Poloměr opsané kružnice: R = 11,27330220279

Souřadnice vrcholů: A[22; 0] B[0; 0] C[8,45545454545; 8,51659063615]
Těžiště: T[10,15215151515; 2,83986354538]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11; -2,46659735686]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9; 3,7476998799]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 147,84327913907° = 147°50'34″ = 0,56112491685 rad
∠ B' = β' = 134,79328337024° = 134°47'34″ = 0,78990138974 rad
∠ C' = γ' = 77,3644374907° = 77°21'52″ = 1,79113295877 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 12 b = 16 c = 22

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 12 + 16 + 22 = 50

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 0}{2} = 25

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 25 (25 - 12) (25 - 16) (25 - 22) S = 8775 = 93, 67

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 3 , 6 7}{1 2} = 15, 61 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 3 , 6 7}{1 6} = 11, 71 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 3 , 6 7}{2 2} = 8, 52

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 2 2}) = 32 ° 9^{'} 26 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 2}) = 45 ° 1 2^{'} 26 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 32 ° 9^{'} 26 " - 45 ° 1 2^{'} 26 " = 102 ° 3 8^{'} 8 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 3 , 6 7}{2 5} = 3, 75

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 6 \cdot 2 2}{4 \cdot 3 , 7 4 7 \cdot 2 5} = 11, 27

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 18, 276 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 15, 811 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 8, 888

Vypočítat další trojúhelník