Trojúhelník 12 16 26

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 12
b = 16
c = 26

Obsah trojúhelníku: S = 66,74657863839
Obvod trojúhelníku: o = 54
Semiperimeter (poloobvod): s = 27

Úhel ∠ A = α = 18,71769506574° = 18°43'1″ = 0,32766724149 rad
Úhel ∠ B = β = 25,33216750167° = 25°19'54″ = 0,44221211341 rad
Úhel ∠ C = γ = 135,95113743259° = 135°57'5″ = 2,37327991046 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 11,12442977306
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,3433223298
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 5,13442912603

Těžnice: t_a = 20,73664413533
Těžnice: t_b = 18,60110752377
Těžnice: t_c = 5,56877643628

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,47220661624
Poloměr opsané kružnice: R = 18,6987809519

Souřadnice vrcholů: A[26; 0] B[0; 0] C[10,84661538462; 5,13442912603]
Těžiště: T[12,28220512821; 1,71114304201]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[13; -13,43990505918]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11; 2,47220661624]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 161,28330493426° = 161°16'59″ = 0,32766724149 rad
∠ B' = β' = 154,66883249833° = 154°40'6″ = 0,44221211341 rad
∠ C' = γ' = 44,04986256741° = 44°2'55″ = 2,37327991046 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 12 b = 16 c = 26

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 12 + 16 + 26 = 54

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 4}{2} = 27

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 27 (27 - 12) (27 - 16) (27 - 26) S = 4455 = 66, 75

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 6 , 7 5}{1 2} = 11, 12 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 6 , 7 5}{1 6} = 8, 34 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 6 , 7 5}{2 6} = 5, 13

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 2 6 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 2 6}) = 18 ° 4 3^{'} 1 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 6 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 6}) = 25 ° 1 9^{'} 54 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 18 ° 4 3^{'} 1 " - 25 ° 1 9^{'} 54 " = 135 ° 5 7^{'} 5 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 6 , 7 5}{2 7} = 2, 47

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 6 \cdot 2 6}{4 \cdot 2 , 4 7 2 \cdot 2 7} = 18, 7

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 20, 736 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 18, 601 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 5, 568

Vypočítat další trojúhelník