Trojúhelník 12 17 20

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 12
b = 17
c = 20

Obsah trojúhelníku: S = 101,66658128379
Obvod trojúhelníku: o = 49
Semiperimeter (poloobvod): s = 24,5

Úhel ∠ A = α = 36,7299236457° = 36°43'45″ = 0,64110461079 rad
Úhel ∠ B = β = 57,91100487437° = 57°54'36″ = 1,01107210206 rad
Úhel ∠ C = γ = 85,36107147993° = 85°21'39″ = 1,49898255251 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 16,94443021397
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 11,96106838633
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 10,16765812838

Těžnice: t_a = 17,56441680703
Těžnice: t_b = 14,13332940251
Těžnice: t_c = 10,79435165725

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,15496250138
Poloměr opsané kružnice: R = 10,03328711445

Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[6,375; 10,16765812838]
Těžiště: T[8,79216666667; 3,38988604279]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; 0,81114822249]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,5; 4,15496250138]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 143,2710763543° = 143°16'15″ = 0,64110461079 rad
∠ B' = β' = 122,09899512563° = 122°5'24″ = 1,01107210206 rad
∠ C' = γ' = 94,63992852007° = 94°38'21″ = 1,49898255251 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 12 b = 17 c = 20

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 12 + 17 + 20 = 49

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 9}{2} = 24, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 24, 5 (24, 5 - 12) (24, 5 - 17) (24, 5 - 20) S = 10335, 94 = 101, 67

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 1 , 6 7}{1 2} = 16, 94 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 1 , 6 7}{1 7} = 11, 96 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 1 , 6 7}{2 0} = 10, 17

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 2 0}) = 36 ° 4 3^{'} 45 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 0}) = 57 ° 5 4^{'} 36 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 36 ° 4 3^{'} 45 " - 57 ° 5 4^{'} 36 " = 85 ° 2 1^{'} 39 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 1 , 6 7}{2 4 , 5} = 4, 15

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 7 \cdot 2 0}{4 \cdot 4 , 1 5 \cdot 2 4 , 5} = 10, 03

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 17, 564 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 14, 133 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 10, 794

Vypočítat další trojúhelník