Trojúhelník 12 17 24

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 12
b = 17
c = 24

Obsah trojúhelníku: S = 95,5329772846
Obvod trojúhelníku: o = 53
Semiperimeter (poloobvod): s = 26,5

Úhel ∠ A = α = 27,92329129398° = 27°55'22″ = 0,48773467675 rad
Úhel ∠ B = β = 41,56597864393° = 41°33'35″ = 0,72553551098 rad
Úhel ∠ C = γ = 110,51773006209° = 110°31'2″ = 1,92988907763 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 15,92216288077
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 11,23987968054
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 7,96108144038

Těžnice: t_a = 19,91223077517
Těžnice: t_b = 16,96331954537
Těžnice: t_c = 8,5154693183

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,60548970885
Poloměr opsané kružnice: R = 12,81327594522

Souřadnice vrcholů: A[24; 0] B[0; 0] C[8,97991666667; 7,96108144038]
Těžiště: T[10,99330555556; 2,65436048013]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12; -4,49107465727]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9,5; 3,60548970885]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 152,07770870602° = 152°4'38″ = 0,48773467675 rad
∠ B' = β' = 138,44402135608° = 138°26'25″ = 0,72553551098 rad
∠ C' = γ' = 69,48326993791° = 69°28'58″ = 1,92988907763 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 12 b = 17 c = 24

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 12 + 17 + 24 = 53

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 3}{2} = 26, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 26, 5 (26, 5 - 12) (26, 5 - 17) (26, 5 - 24) S = 9125, 94 = 95, 53

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 5 , 5 3}{1 2} = 15, 92 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 5 , 5 3}{1 7} = 11, 24 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 5 , 5 3}{2 4} = 7, 96

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 2 4 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 2 4}) = 27 ° 5 5^{'} 22 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 4 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 4}) = 41 ° 3 3^{'} 35 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 27 ° 5 5^{'} 22 " - 41 ° 3 3^{'} 35 " = 110 ° 3 1^{'} 2 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 5 , 5 3}{2 6 , 5} = 3, 6

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 7 \cdot 2 4}{4 \cdot 3 , 6 0 5 \cdot 2 6 , 5} = 12, 81

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 19, 912 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 16, 963 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 8, 515

Vypočítat další trojúhelník