Trojúhelník 12 17 25
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 12
b = 17
c = 25
Obsah trojúhelníku: S = 90
Obvod trojúhelníku: o = 54
Semiperimeter (poloobvod): s = 27
Úhel ∠ A = α = 25,05876154183° = 25°3'27″ = 0,43773378917 rad
Úhel ∠ B = β = 36,87698976458° = 36°52'12″ = 0,64435011088 rad
Úhel ∠ C = γ = 118,07224869359° = 118°4'21″ = 2,0610753653 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 15
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 10,58882352941
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 7,2
Těžnice: ta = 20,51882845287
Těžnice: tb = 17,67105970471
Těžnice: tc = 7,76220873481
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,33333333333
Poloměr opsané kružnice: R = 14,16766666667
Souřadnice vrcholů: A[25; 0] B[0; 0] C[9,6; 7,2]
Těžiště: T[11,53333333333; 2,4]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12,5; -6,66766666667]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[10; 3,33333333333]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 154,94223845817° = 154°56'33″ = 0,43773378917 rad
∠ B' = β' = 143,13301023542° = 143°7'48″ = 0,64435011088 rad
∠ C' = γ' = 61,92875130641° = 61°55'39″ = 2,0610753653 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=12 b=17 c=25
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=12+17+25=54
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=254=27
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=27(27−12)(27−17)(27−25) S=8100=90
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 90=15 vb=b2 S=172⋅ 90=10,59 vc=c2 S=252⋅ 90=7,2
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 25172+252−122)=25°3′27" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 25122+252−172)=36°52′12" γ=180°−α−β=180°−25°3′27"−36°52′12"=118°4′21"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=2790=3,33
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,333⋅ 2712⋅ 17⋅ 25=14,17
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 252−122=20,518 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 252+2⋅ 122−172=17,671 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 172−252=7,762
Vypočítat další trojúhelník