Trojúhelník 12 18 22

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 12
b = 18
c = 22

Obsah trojúhelníku: S = 107,92659005059
Obvod trojúhelníku: o = 52
Semiperimeter (poloobvod): s = 26

Úhel ∠ A = α = 33,03301516046° = 33°1'49″ = 0,57664848979 rad
Úhel ∠ B = β = 54,84772970332° = 54°50'50″ = 0,9577265919 rad
Úhel ∠ C = γ = 92,12325513621° = 92°7'21″ = 1,60878418366 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 17,98876500843
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 11,99217667229
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 9,81114455005

Těžnice: t_a = 19,18333260933
Těžnice: t_b = 15,26443375225
Těžnice: t_c = 10,63301458127

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,15109961733
Poloměr opsané kružnice: R = 11,00875523524

Souřadnice vrcholů: A[22; 0] B[0; 0] C[6,90990909091; 9,81114455005]
Těžiště: T[9,63663636364; 3,27704818335]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11; -0,40876871242]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8; 4,15109961733]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 146,97698483954° = 146°58'11″ = 0,57664848979 rad
∠ B' = β' = 125,15327029668° = 125°9'10″ = 0,9577265919 rad
∠ C' = γ' = 87,87774486379° = 87°52'39″ = 1,60878418366 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 12 b = 18 c = 22

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 12 + 18 + 22 = 52

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 2}{2} = 26

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 26 (26 - 12) (26 - 18) (26 - 22) S = 11648 = 107, 93

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 7 , 9 3}{1 2} = 17, 99 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 7 , 9 3}{1 8} = 11, 99 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 7 , 9 3}{2 2} = 9, 81

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 2}) = 33 ° 1^{'} 49 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 2}) = 54 ° 5 0^{'} 50 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 33 ° 1^{'} 49 " - 54 ° 5 0^{'} 50 " = 92 ° 7^{'} 21 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 7 , 9 3}{2 6} = 4, 15

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 8 \cdot 2 2}{4 \cdot 4 , 1 5 1 \cdot 2 6} = 11, 01

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 19, 183 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 15, 264 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 10, 63

Vypočítat další trojúhelník