Trojúhelník 12 18 23

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 12
b = 18
c = 23

Obsah trojúhelníku: S = 106,91879007463
Obvod trojúhelníku: o = 53
Semiperimeter (poloobvod): s = 26,5

Úhel ∠ A = α = 31,09985459112° = 31°5'55″ = 0,54327720187 rad
Úhel ∠ B = β = 50,78439487166° = 50°47'2″ = 0,88663471123 rad
Úhel ∠ C = γ = 98,11875053723° = 98°7'3″ = 1,71224735226 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 17,82196501244
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 11,88797667496
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 9,29772087605

Těžnice: t_a = 19,76110728454
Těžnice: t_b = 15,98443673631
Těžnice: t_c = 10,08771205009

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,0354637764
Poloměr opsané kružnice: R = 11,61663896909

Souřadnice vrcholů: A[23; 0] B[0; 0] C[7,58769565217; 9,29772087605]
Těžiště: T[10,19656521739; 3,09990695868]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11,5; -1,6440277248]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8,5; 4,0354637764]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 148,90114540888° = 148°54'5″ = 0,54327720187 rad
∠ B' = β' = 129,21660512835° = 129°12'58″ = 0,88663471123 rad
∠ C' = γ' = 81,88224946277° = 81°52'57″ = 1,71224735226 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 12 b = 18 c = 23

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 12 + 18 + 23 = 53

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 3}{2} = 26, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 26, 5 (26, 5 - 12) (26, 5 - 18) (26, 5 - 23) S = 11431, 44 = 106, 92

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 6 , 9 2}{1 2} = 17, 82 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 6 , 9 2}{1 8} = 11, 88 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 6 , 9 2}{2 3} = 9, 3

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 3}) = 31 ° 5^{'} 55 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 3}) = 50 ° 4 7^{'} 2 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 31 ° 5^{'} 55 " - 50 ° 4 7^{'} 2 " = 98 ° 7^{'} 3 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 6 , 9 2}{2 6 , 5} = 4, 03

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 8 \cdot 2 3}{4 \cdot 4 , 0 3 5 \cdot 2 6 , 5} = 11, 62

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 19, 761 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 15, 984 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 10, 087

Vypočítat další trojúhelník