Trojúhelník 12 19 30

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 12
b = 19
c = 30

Obsah trojúhelníku: S = 56,96599640098
Obvod trojúhelníku: o = 61
Semiperimeter (poloobvod): s = 30,5

Úhel ∠ A = α = 11,52987444337° = 11°31'43″ = 0,2011214549 rad
Úhel ∠ B = β = 18,448802355° = 18°26'53″ = 0,32219787514 rad
Úhel ∠ C = γ = 150,02332320163° = 150°1'24″ = 2,61883993532 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 9,4933327335
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 5,99657856852
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 3,7977330934

Těžnice: t_a = 24,38223706805
Těžnice: t_b = 20,77985947552
Těžnice: t_c = 5,24440442409

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,86875398036
Poloměr opsané kružnice: R = 30,02110863846

Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[11,38333333333; 3,7977330934]
Těžiště: T[13,79444444444; 1,2665776978]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; -26,00551077235]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11,5; 1,86875398036]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 168,47112555664° = 168°28'17″ = 0,2011214549 rad
∠ B' = β' = 161,552197645° = 161°33'7″ = 0,32219787514 rad
∠ C' = γ' = 29,97767679837° = 29°58'36″ = 2,61883993532 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 12 b = 19 c = 30

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 12 + 19 + 30 = 61

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 1}{2} = 30, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 30, 5 (30, 5 - 12) (30, 5 - 19) (30, 5 - 30) S = 3244, 44 = 56, 96

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 6 , 9 6}{1 2} = 9, 49 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 6 , 9 6}{1 9} = 6 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 6 , 9 6}{3 0} = 3, 8

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 9 ^{2} + 3 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 9 \cdot 3 0}) = 11 ° 3 1^{'} 43 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 3 0 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 3 0}) = 18 ° 2 6^{'} 53 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 11 ° 3 1^{'} 43 " - 18 ° 2 6^{'} 53 " = 150 ° 1^{'} 24 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 6 , 9 6}{3 0 , 5} = 1, 87

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 9 \cdot 3 0}{4 \cdot 1 , 8 6 8 \cdot 3 0 , 5} = 30, 02

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 24, 382 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 20, 779 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 5, 244

Vypočítat další trojúhelník