Trojúhelník 12 20 20

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 12
b = 20
c = 20

Obsah trojúhelníku: S = 114,473270417
Obvod trojúhelníku: o = 52
Semiperimeter (poloobvod): s = 26

Úhel ∠ A = α = 34,91552062474° = 34°54'55″ = 0,6099385308 rad
Úhel ∠ B = β = 72,54223968763° = 72°32'33″ = 1,26661036728 rad
Úhel ∠ C = γ = 72,54223968763° = 72°32'33″ = 1,26661036728 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 19,07987840283
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 11,4477270417
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 11,4477270417

Těžnice: t_a = 19,07987840283
Těžnice: t_b = 13,11548770486
Těžnice: t_c = 13,11548770486

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,40327963142
Poloměr opsané kružnice: R = 10,48328483672

Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[3,6; 11,4477270417]
Těžiště: T[7,86766666667; 3,81657568057]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; 3,14548545102]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 4,40327963142]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 145,08547937526° = 145°5'5″ = 0,6099385308 rad
∠ B' = β' = 107,45876031237° = 107°27'27″ = 1,26661036728 rad
∠ C' = γ' = 107,45876031237° = 107°27'27″ = 1,26661036728 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 12 b = 20 c = 20

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 12 + 20 + 20 = 52

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 2}{2} = 26

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 26 (26 - 12) (26 - 20) (26 - 20) S = 13104 = 114, 47

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 1 4 , 4 7}{1 2} = 19, 08 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 1 4 , 4 7}{2 0} = 11, 45 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 1 4 , 4 7}{2 0} = 11, 45

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 0}) = 34 ° 5 4^{'} 55 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 0}) = 72 ° 3 2^{'} 33 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 34 ° 5 4^{'} 55 " - 72 ° 3 2^{'} 33 " = 72 ° 3 2^{'} 33 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 1 4 , 4 7}{2 6} = 4, 4

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 2 0 \cdot 2 0}{4 \cdot 4 , 4 0 3 \cdot 2 6} = 10, 48

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 19, 079 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 13, 115 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 13, 115

Vypočítat další trojúhelník