Trojúhelník 12 20 26

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 12
b = 20
c = 26

Obsah trojúhelníku: S = 115,37333071382
Obvod trojúhelníku: o = 58
Semiperimeter (poloobvod): s = 29

Úhel ∠ A = α = 26,34329755443° = 26°20'35″ = 0,4659771658 rad
Úhel ∠ B = β = 47,69550102928° = 47°41'42″ = 0,83224349664 rad
Úhel ∠ C = γ = 105,96220141629° = 105°57'43″ = 1,84993860292 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 19,2298884523
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 11,53773307138
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 8,87548697799

Těžnice: t_a = 22,40553565024
Těžnice: t_b = 17,60768168617
Těžnice: t_c = 10,14988915651

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,97883899013
Poloměr opsané kružnice: R = 13,52113251548

Souřadnice vrcholů: A[26; 0] B[0; 0] C[8,07769230769; 8,87548697799]
Těžiště: T[11,3598974359; 2,95882899266]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[13; -3,71883644176]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9; 3,97883899013]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 153,65770244557° = 153°39'25″ = 0,4659771658 rad
∠ B' = β' = 132,30549897072° = 132°18'18″ = 0,83224349664 rad
∠ C' = γ' = 74,03879858372° = 74°2'17″ = 1,84993860292 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 12 b = 20 c = 26

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 12 + 20 + 26 = 58

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 8}{2} = 29

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 29 (29 - 12) (29 - 20) (29 - 26) S = 13311 = 115, 37

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 1 5 , 3 7}{1 2} = 19, 23 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 1 5 , 3 7}{2 0} = 11, 54 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 1 5 , 3 7}{2 6} = 8, 87

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 6 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 6}) = 26 ° 2 0^{'} 35 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 6 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 6}) = 47 ° 4 1^{'} 42 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 26 ° 2 0^{'} 35 " - 47 ° 4 1^{'} 42 " = 105 ° 5 7^{'} 43 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 1 5 , 3 7}{2 9} = 3, 98

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 2 0 \cdot 2 6}{4 \cdot 3 , 9 7 8 \cdot 2 9} = 13, 52

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 22, 405 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 17, 607 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 10, 149

Vypočítat další trojúhelník