Trojúhelník 12 21 24

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 12
b = 21
c = 24

Obsah trojúhelníku: S = 125,98799091125
Obvod trojúhelníku: o = 57
Semiperimeter (poloobvod): s = 28,5

Úhel ∠ A = α = 29,99547255274° = 29°59'41″ = 0,52435067187 rad
Úhel ∠ B = β = 61,02884677763° = 61°1'42″ = 1,06551477001 rad
Úhel ∠ C = γ = 88,97768066963° = 88°58'37″ = 1,55329382348 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 20,99766515188
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 11,99880865821
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 10,49883257594

Těžnice: t_a = 21,73770651193
Těžnice: t_b = 15,80334806293
Těžnice: t_c = 12,1866057607

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,42203476882
Poloměr opsané kružnice: R = 12,0021913723

Souřadnice vrcholů: A[24; 0] B[0; 0] C[5,81325; 10,49883257594]
Těžiště: T[9,93875; 3,49994419198]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12; 0,21443198879]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,5; 4,42203476882]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 150,00552744726° = 150°19″ = 0,52435067187 rad
∠ B' = β' = 118,97215322237° = 118°58'18″ = 1,06551477001 rad
∠ C' = γ' = 91,02331933037° = 91°1'23″ = 1,55329382348 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 12 b = 21 c = 24

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 12 + 21 + 24 = 57

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 7}{2} = 28, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 28, 5 (28, 5 - 12) (28, 5 - 21) (28, 5 - 24) S = 15870, 94 = 125, 98

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 2 5 , 9 8}{1 2} = 21 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 2 5 , 9 8}{2 1} = 12 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 2 5 , 9 8}{2 4} = 10, 5

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 4 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 4}) = 29 ° 5 9^{'} 41 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 4 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 4}) = 61 ° 1^{'} 42 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 29 ° 5 9^{'} 41 " - 61 ° 1^{'} 42 " = 88 ° 5 8^{'} 37 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 2 5 , 9 8}{2 8 , 5} = 4, 42

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 2 1 \cdot 2 4}{4 \cdot 4 , 4 2 \cdot 2 8 , 5} = 12

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 21, 737 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 15, 803 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 12, 186

Vypočítat další trojúhelník