Trojúhelník 12 25 29

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 12
b = 25
c = 29

Obsah trojúhelníku: S = 148,91660837519
Obvod trojúhelníku: o = 66
Semiperimeter (poloobvod): s = 33

Úhel ∠ A = α = 24,25552873422° = 24°15'19″ = 0,42333346251 rad
Úhel ∠ B = β = 58,85326100785° = 58°51'9″ = 1,02771718193 rad
Úhel ∠ C = γ = 96,89221025793° = 96°53'32″ = 1,69110862092 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 24,8199347292
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 11,91332867002
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 10,27700747415

Těžnice: t_a = 26,40107575649
Těžnice: t_b = 18,33771208209
Těžnice: t_c = 13.22003787824

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,51326085985
Poloměr opsané kružnice: R = 14,6065541223

Souřadnice vrcholů: A[29; 0] B[0; 0] C[6,20768965517; 10,27700747415]
Těžiště: T[11,73656321839; 3,42333582472]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14,5; -1,75326649468]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8; 4,51326085985]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 155,74547126578° = 155°44'41″ = 0,42333346251 rad
∠ B' = β' = 121,14773899215° = 121°8'51″ = 1,02771718193 rad
∠ C' = γ' = 83,10878974207° = 83°6'28″ = 1,69110862092 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 12 b = 25 c = 29

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 12 + 25 + 29 = 66

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 6}{2} = 33

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 33 (33 - 12) (33 - 25) (33 - 29) S = 22176 = 148, 92

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 8 , 9 2}{1 2} = 24, 82 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 8 , 9 2}{2 5} = 11, 91 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 8 , 9 2}{2 9} = 10, 27

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 5 ^{2} + 2 9 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 2 5 \cdot 2 9}) = 24 ° 1 5^{'} 19 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 9}) = 58 ° 5 1^{'} 9 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 24 ° 1 5^{'} 19 " - 58 ° 5 1^{'} 9 " = 96 ° 5 3^{'} 32 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 8 , 9 2}{3 3} = 4, 51

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 2 5 \cdot 2 9}{4 \cdot 4 , 5 1 3 \cdot 3 3} = 14, 61

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 26, 401 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 18, 337 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 13, 2

Vypočítat další trojúhelník