Trojúhelník 13 13 15
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 13
b = 13
c = 15
Obsah trojúhelníku: S = 79,6387852181
Obvod trojúhelníku: o = 41
Semiperimeter (poloobvod): s = 20,5
Úhel ∠ A = α = 54,76655820154° = 54°45'56″ = 0,95658397229 rad
Úhel ∠ B = β = 54,76655820154° = 54°45'56″ = 0,95658397229 rad
Úhel ∠ C = γ = 70,46988359692° = 70°28'8″ = 1,23299132077 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 12,25219772586
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 12,25219772586
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 10,61883802908
Těžnice: ta = 12,44398553046
Těžnice: tb = 12,44398553046
Těžnice: tc = 10,61883802908
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,88547732771
Poloměr opsané kružnice: R = 7,9587899198
Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[7,5; 10,61883802908]
Těžiště: T[7,5; 3,53994600969]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; 2,66604810928]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,5; 3,88547732771]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 125,23444179846° = 125°14'4″ = 0,95658397229 rad
∠ B' = β' = 125,23444179846° = 125°14'4″ = 0,95658397229 rad
∠ C' = γ' = 109,53111640308° = 109°31'52″ = 1,23299132077 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=13 b=13 c=15
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=13+13+15=41
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=241=20,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=20,5(20,5−13)(20,5−13)(20,5−15) S=6342,19=79,64
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=132⋅ 79,64=12,25 vb=b2 S=132⋅ 79,64=12,25 vc=c2 S=152⋅ 79,64=10,62
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 15132+152−132)=54°45′56" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 13⋅ 15132+152−132)=54°45′56" γ=180°−α−β=180°−54°45′56"−54°45′56"=70°28′8"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=20,579,64=3,88
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,885⋅ 20,513⋅ 13⋅ 15=7,96
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 152−132=12,44 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 132−132=12,44 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 132+2⋅ 132−152=10,618
Vypočítat další trojúhelník