Trojúhelník 13 13 20

Tupouhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 13
b = 13
c = 20

Obsah trojúhelníku: S = 83,06662386292
Obvod trojúhelníku: o = 46
Semiperimeter (poloobvod): s = 23

Úhel ∠ A = α = 39,71551372318° = 39°42'55″ = 0,69331599076 rad
Úhel ∠ B = β = 39,71551372318° = 39°42'55″ = 0,69331599076 rad
Úhel ∠ C = γ = 100,57697255364° = 100°34'11″ = 1,75552728384 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 12,77994213276
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 12,77994213276
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 8,30766238629

Těžnice: t_a = 15,56443824163
Těžnice: t_b = 15,56443824163
Těžnice: t_c = 8,30766238629

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,61215755926
Poloměr opsané kružnice: R = 10,17326045857

Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[10; 8,30766238629]
Těžiště: T[10; 2,7698874621]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; -1,86659807228]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[10; 3,61215755926]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 140,28548627682° = 140°17'5″ = 0,69331599076 rad
∠ B' = β' = 140,28548627682° = 140°17'5″ = 0,69331599076 rad
∠ C' = γ' = 79,43302744637° = 79°25'49″ = 1,75552728384 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 13 b = 13 c = 20

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 13 + 13 + 20 = 46

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 6}{2} = 23

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 23 (23 - 13) (23 - 13) (23 - 20) S = 6900 = 83, 07

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 3 , 0 7}{1 3} = 12, 78 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 3 , 0 7}{1 3} = 12, 78 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 3 , 0 7}{2 0} = 8, 31

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 2 0}) = 39 ° 4 2^{'} 55 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 2 0}) = 39 ° 4 2^{'} 55 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 39 ° 4 2^{'} 55 " - 39 ° 4 2^{'} 55 " = 100 ° 3 4^{'} 11 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 3 , 0 7}{2 3} = 3, 61

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 3 \cdot 1 3 \cdot 2 0}{4 \cdot 3 , 6 1 2 \cdot 2 3} = 10, 17

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 15, 564 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 15, 564 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 8, 307

Vypočítat další trojúhelník