Trojúhelník 13 14 16
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 13
b = 14
c = 16
Obsah trojúhelníku: S = 86,82441757807
Obvod trojúhelníku: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5
Úhel ∠ A = α = 50,82546068485° = 50°49'29″ = 0,88770567305 rad
Úhel ∠ B = β = 56.65999979997° = 56°36' = 0,98878563217 rad
Úhel ∠ C = γ = 72,57553951518° = 72°34'31″ = 1,26766796013 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 13,35875655047
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 12,4033453683
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 10,85330219726
Těžnice: ta = 13,55554417117
Těžnice: tb = 12,78767118525
Těžnice: tc = 10,88657705285
Poloměr vepsané kružnice: r = 4,03883337572
Poloměr opsané kružnice: R = 8,38547614268
Souřadnice vrcholů: A[16; 0] B[0; 0] C[7,156625; 10,85330219726]
Těžiště: T[7,719875; 3,61876739909]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8; 2,51108214163]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,5; 4,03883337572]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 129,17553931515° = 129°10'31″ = 0,88770567305 rad
∠ B' = β' = 123.44000020003° = 123°24' = 0,98878563217 rad
∠ C' = γ' = 107,42546048482° = 107°25'29″ = 1,26766796013 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=13 b=14 c=16
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=13+14+16=43
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=243=21,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=21,5(21,5−13)(21,5−14)(21,5−16) S=7538,44=86,82
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=132⋅ 86,82=13,36 vb=b2 S=142⋅ 86,82=12,4 vc=c2 S=162⋅ 86,82=10,85
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 16142+162−132)=50°49′29" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 13⋅ 16132+162−142)=56°36′ γ=180°−α−β=180°−50°49′29"−56°36′=72°34′31"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=21,586,82=4,04
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 4,038⋅ 21,513⋅ 14⋅ 16=8,38
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 162−132=13,555 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 162+2⋅ 132−142=12,787 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 132+2⋅ 142−162=10,886
Vypočítat další trojúhelník