Trojúhelník 13 14 19
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 13
b = 14
c = 19
Obsah trojúhelníku: S = 90,99545053286
Obvod trojúhelníku: o = 46
Semiperimeter (poloobvod): s = 23
Úhel ∠ A = α = 43,17703054388° = 43°10'13″ = 0,7533463969 rad
Úhel ∠ B = β = 47,45993311847° = 47°27'34″ = 0,828832159 rad
Úhel ∠ C = γ = 89,37703633766° = 89°22'13″ = 1,56598070946 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 13,99991546659
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 12,99992150469
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 9,5788368982
Těžnice: ta = 15,37704261489
Těžnice: tb = 14,69769384567
Těžnice: tc = 9,60546863561
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,95662828404
Poloměr opsané kružnice: R = 9,50105736542
Souřadnice vrcholů: A[19; 0] B[0; 0] C[8,78994736842; 9,5788368982]
Těžiště: T[9,26331578947; 3,19327896607]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9,5; 0,10444019083]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9; 3,95662828404]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 136,83296945613° = 136°49'47″ = 0,7533463969 rad
∠ B' = β' = 132,54106688153° = 132°32'26″ = 0,828832159 rad
∠ C' = γ' = 90,63296366234° = 90°37'47″ = 1,56598070946 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=13 b=14 c=19
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=13+14+19=46
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=246=23
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=23(23−13)(23−14)(23−19) S=8280=90,99
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=132⋅ 90,99=14 vb=b2 S=142⋅ 90,99=13 vc=c2 S=192⋅ 90,99=9,58
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 19142+192−132)=43°10′13" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 13⋅ 19132+192−142)=47°27′34" γ=180°−α−β=180°−43°10′13"−47°27′34"=89°22′13"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=2390,99=3,96
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,956⋅ 2313⋅ 14⋅ 19=9,5
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 192−132=15,37 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 192+2⋅ 132−142=14,697 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 132+2⋅ 142−192=9,605
Vypočítat další trojúhelník