Trojúhelník 13 14 23
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 13
b = 14
c = 23
Obsah trojúhelníku: S = 81,24403840464
Obvod trojúhelníku: o = 50
Semiperimeter (poloobvod): s = 25
Úhel ∠ A = α = 30,30547140565° = 30°18'17″ = 0,52989170392 rad
Úhel ∠ B = β = 32,9166344351° = 32°54'59″ = 0,57444985866 rad
Úhel ∠ C = γ = 116,77989415925° = 116°46'44″ = 2,03881770278 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 12,49985206225
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 11,60657691495
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 7,06443812214
Těžnice: ta = 17,89655301682
Těžnice: tb = 17,32105080757
Těžnice: tc = 7,08987234394
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,25496153619
Poloměr opsané kružnice: R = 12,8821524531
Souřadnice vrcholů: A[23; 0] B[0; 0] C[10,91330434783; 7,06443812214]
Těžiště: T[11,30443478261; 2,35547937405]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11,5; -5,80437637997]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11; 3,25496153619]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 149,69552859435° = 149°41'43″ = 0,52989170392 rad
∠ B' = β' = 147,0843655649° = 147°5'1″ = 0,57444985866 rad
∠ C' = γ' = 63,22110584075° = 63°13'16″ = 2,03881770278 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=13 b=14 c=23
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=13+14+23=50
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=250=25
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=25(25−13)(25−14)(25−23) S=6600=81,24
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=132⋅ 81,24=12,5 vb=b2 S=142⋅ 81,24=11,61 vc=c2 S=232⋅ 81,24=7,06
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 23142+232−132)=30°18′17" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 13⋅ 23132+232−142)=32°54′59" γ=180°−α−β=180°−30°18′17"−32°54′59"=116°46′44"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=2581,24=3,25
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,25⋅ 2513⋅ 14⋅ 23=12,88
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 232−132=17,896 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 232+2⋅ 132−142=17,321 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 132+2⋅ 142−232=7,089
Vypočítat další trojúhelník