Trojúhelník 13 14 24

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 13
b = 14
c = 24

Obsah trojúhelníku: S = 74,15114497498
Obvod trojúhelníku: o = 51
Semiperimeter (poloobvod): s = 25,5

Úhel ∠ A = α = 26,19218154354° = 26°11'31″ = 0,45771334164 rad
Úhel ∠ B = β = 28,38108258398° = 28°22'51″ = 0,49553388553 rad
Úhel ∠ C = γ = 125,42773587249° = 125°25'38″ = 2,18991203818 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 11,40879153461
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 10,593306425
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 6,17992874792

Těžnice: t_a = 18,54404962177
Těžnice: t_b = 17,98661057486
Těžnice: t_c = 6,2054836823

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,90878999902
Poloměr opsané kružnice: R = 14,72766169938

Souřadnice vrcholů: A[24; 0] B[0; 0] C[11,43875; 6,17992874792]
Těžiště: T[11,81325; 2,06597624931]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12; -8,53765829277]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11,5; 2,90878999902]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 153,80881845646° = 153°48'29″ = 0,45771334164 rad
∠ B' = β' = 151,61991741602° = 151°37'9″ = 0,49553388553 rad
∠ C' = γ' = 54,57326412751° = 54°34'22″ = 2,18991203818 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 13 b = 14 c = 24

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 13 + 14 + 24 = 51

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 1}{2} = 25, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 25, 5 (25, 5 - 13) (25, 5 - 14) (25, 5 - 24) S = 5498, 44 = 74, 15

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 4 , 1 5}{1 3} = 11, 41 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 4 , 1 5}{1 4} = 10, 59 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 4 , 1 5}{2 4} = 6, 18

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 2 4 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 2 4}) = 26 ° 1 1^{'} 31 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 2 4 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 2 4}) = 28 ° 2 2^{'} 51 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 26 ° 1 1^{'} 31 " - 28 ° 2 2^{'} 51 " = 125 ° 2 5^{'} 38 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 4 , 1 5}{2 5 , 5} = 2, 91

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 3 \cdot 1 4 \cdot 2 4}{4 \cdot 2 , 9 0 8 \cdot 2 5 , 5} = 14, 73

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 18, 54 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 17, 986 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 6, 205

Vypočítat další trojúhelník