Trojúhelník 13 15 15
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 13
b = 15
c = 15
Obsah trojúhelníku: S = 87,87702879249
Obvod trojúhelníku: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5
Úhel ∠ A = α = 51,35985772389° = 51°21'31″ = 0,8966376272 rad
Úhel ∠ B = β = 64,32107113805° = 64°19'15″ = 1,12326081908 rad
Úhel ∠ C = γ = 64,32107113805° = 64°19'15″ = 1,12326081908 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 13,51985058346
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 11,716603839
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 11,716603839
Těžnice: ta = 13,51985058346
Těžnice: tb = 11,86438105177
Těžnice: tc = 11,86438105177
Poloměr vepsané kružnice: r = 4,0876990136
Poloměr opsané kružnice: R = 8,32219256164
Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[5,63333333333; 11,716603839]
Těžiště: T[6,87877777778; 3,905534613]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; 3,60661677671]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 4,0876990136]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 128,64114227611° = 128°38'29″ = 0,8966376272 rad
∠ B' = β' = 115,67992886195° = 115°40'45″ = 1,12326081908 rad
∠ C' = γ' = 115,67992886195° = 115°40'45″ = 1,12326081908 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=13 b=15 c=15
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=13+15+15=43
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=243=21,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=21,5(21,5−13)(21,5−15)(21,5−15) S=7721,19=87,87
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=132⋅ 87,87=13,52 vb=b2 S=152⋅ 87,87=11,72 vc=c2 S=152⋅ 87,87=11,72
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 15⋅ 15152+152−132)=51°21′31" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 13⋅ 15132+152−152)=64°19′15" γ=180°−α−β=180°−51°21′31"−64°19′15"=64°19′15"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=21,587,87=4,09
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 4,087⋅ 21,513⋅ 15⋅ 15=8,32
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 152+2⋅ 152−132=13,519 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 132−152=11,864 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 132+2⋅ 152−152=11,864
Vypočítat další trojúhelník