Trojúhelník 13 16 19

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 13
b = 16
c = 19

Obsah trojúhelníku: S = 102,76218606293
Obvod trojúhelníku: o = 48
Semiperimeter (poloobvod): s = 24

Úhel ∠ A = α = 42,5376898363° = 42°32'13″ = 0,742240893 rad
Úhel ∠ B = β = 56,31329847354° = 56°18'47″ = 0,98328469953 rad
Úhel ∠ C = γ = 81,15501169016° = 81°9' = 1,41663367283 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 15,81095170199
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 12,84552325787
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 10,8177037961

Těžnice: t_a = 16,31771688721
Těžnice: t_b = 14,17774468788
Těžnice: t_c = 11,05766721937

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,28217441929
Poloměr opsané kružnice: R = 9,61444619604

Souřadnice vrcholů: A[19; 0] B[0; 0] C[7,21105263158; 10,8177037961]
Těžiště: T[8,73768421053; 3,60656793203]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9,5; 1,47991479939]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8; 4,28217441929]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 137,4633101637° = 137°27'47″ = 0,742240893 rad
∠ B' = β' = 123,68770152646° = 123°41'13″ = 0,98328469953 rad
∠ C' = γ' = 98,85498830984° = 98°51' = 1,41663367283 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 13 b = 16 c = 19

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 13 + 16 + 19 = 48

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 8}{2} = 24

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 24 (24 - 13) (24 - 16) (24 - 19) S = 10560 = 102, 76

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 2 , 7 6}{1 3} = 15, 81 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 2 , 7 6}{1 6} = 12, 85 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 2 , 7 6}{1 9} = 10, 82

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 1 9 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 1 9}) = 42 ° 3 2^{'} 13 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 9 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 9}) = 56 ° 1 8^{'} 47 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 42 ° 3 2^{'} 13 " - 56 ° 1 8^{'} 47 " = 81 ° 9^{'}

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 2 , 7 6}{2 4} = 4, 28

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 3 \cdot 1 6 \cdot 1 9}{4 \cdot 4 , 2 8 2 \cdot 2 4} = 9, 61

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 16, 317 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 14, 177 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 11, 057

Vypočítat další trojúhelník