Trojúhelník 13 16 20

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 13
b = 16
c = 20

Obsah trojúhelníku: S = 103,81220296497
Obvod trojúhelníku: o = 49
Semiperimeter (poloobvod): s = 24,5

Úhel ∠ A = α = 40,4533084335° = 40°27'11″ = 0,70660395142 rad
Úhel ∠ B = β = 52,99222476015° = 52°59'32″ = 0,92548891987 rad
Úhel ∠ C = γ = 86,55546680635° = 86°33'17″ = 1,51106639407 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 15,97110814846
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 12,97765037062
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 10,3811202965

Těžnice: t_a = 16,90441415044
Těžnice: t_b = 14,84992424049
Těžnice: t_c = 10,60766017178

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,23772257
Poloměr opsané kružnice: R = 10,01881067985

Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[7,825; 10,3811202965]
Těžiště: T[9,275; 3,46604009883]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; 0,60220496874]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8,5; 4,23772257]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 139,5476915665° = 139°32'49″ = 0,70660395142 rad
∠ B' = β' = 127,00877523985° = 127°28″ = 0,92548891987 rad
∠ C' = γ' = 93,44553319365° = 93°26'43″ = 1,51106639407 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 13 b = 16 c = 20

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 13 + 16 + 20 = 49

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 9}{2} = 24, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 24, 5 (24, 5 - 13) (24, 5 - 16) (24, 5 - 20) S = 10776, 94 = 103, 81

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 3 , 8 1}{1 3} = 15, 97 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 3 , 8 1}{1 6} = 12, 98 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 3 , 8 1}{2 0} = 10, 38

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 2 0}) = 40 ° 2 7^{'} 11 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 2 0}) = 52 ° 5 9^{'} 32 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 40 ° 2 7^{'} 11 " - 52 ° 5 9^{'} 32 " = 86 ° 3 3^{'} 17 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 3 , 8 1}{2 4 , 5} = 4, 24

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 3 \cdot 1 6 \cdot 2 0}{4 \cdot 4 , 2 3 7 \cdot 2 4 , 5} = 10, 02

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 16, 904 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 14, 849 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 10, 607

Vypočítat další trojúhelník