Trojúhelník 13 16 22
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 13
b = 16
c = 22
Obsah trojúhelníku: S = 102,94987129594
Obvod trojúhelníku: o = 51
Semiperimeter (poloobvod): s = 25,5
Úhel ∠ A = α = 35,79884595862° = 35°47'54″ = 0,62548009869 rad
Úhel ∠ B = β = 46,04879641864° = 46°2'53″ = 0,80436885889 rad
Úhel ∠ C = γ = 98,15435762274° = 98°9'13″ = 1,71331030778 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 15,83882635322
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 12,86985891199
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 9,35989739054
Těžnice: ta = 18,10438669902
Těžnice: tb = 16,2021851746
Těžnice: tc = 9,56655632349
Poloměr vepsané kružnice: r = 4,03772044298
Poloměr opsané kružnice: R = 11,11223293057
Souřadnice vrcholů: A[22; 0] B[0; 0] C[9,02327272727; 9,35989739054]
Těžiště: T[10,34109090909; 3,12196579685]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11; -1,57660274736]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9,5; 4,03772044298]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 144,20215404138° = 144°12'6″ = 0,62548009869 rad
∠ B' = β' = 133,95220358136° = 133°57'7″ = 0,80436885889 rad
∠ C' = γ' = 81,84664237726° = 81°50'47″ = 1,71331030778 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=13 b=16 c=22
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=13+16+22=51
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=251=25,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=25,5(25,5−13)(25,5−16)(25,5−22) S=10598,44=102,95
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=132⋅ 102,95=15,84 vb=b2 S=162⋅ 102,95=12,87 vc=c2 S=222⋅ 102,95=9,36
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 16⋅ 22162+222−132)=35°47′54" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 13⋅ 22132+222−162)=46°2′53" γ=180°−α−β=180°−35°47′54"−46°2′53"=98°9′13"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=25,5102,95=4,04
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 4,037⋅ 25,513⋅ 16⋅ 22=11,11
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 162+2⋅ 222−132=18,104 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 222+2⋅ 132−162=16,202 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 132+2⋅ 162−222=9,566
Vypočítat další trojúhelník