Trojúhelník 13 17 19
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 13
b = 17
c = 19
Obsah trojúhelníku: S = 107,80662498188
Obvod trojúhelníku: o = 49
Semiperimeter (poloobvod): s = 24,5
Úhel ∠ A = α = 41,87767878296° = 41°52'36″ = 0,73108878278 rad
Úhel ∠ B = β = 60.88003549713° = 60°48'1″ = 1,06111663806 rad
Úhel ∠ C = γ = 77,32328571991° = 77°19'22″ = 1,35495384452 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 16,58655768952
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 12,6833088214
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 11,34880262967
Těžnice: ta = 16,81551717208
Těžnice: tb = 13,88334433769
Těžnice: tc = 11,77992189894
Poloměr vepsané kružnice: r = 4.44002550946
Poloměr opsané kružnice: R = 9,73773760961
Souřadnice vrcholů: A[19; 0] B[0; 0] C[6,34221052632; 11,34880262967]
Těžiště: T[8,44773684211; 3,78326754322]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9,5; 2,13769354781]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,5; 4.44002550946]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 138,12332121704° = 138°7'24″ = 0,73108878278 rad
∠ B' = β' = 119.21996450287° = 119°11'59″ = 1,06111663806 rad
∠ C' = γ' = 102,67771428009° = 102°40'38″ = 1,35495384452 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=13 b=17 c=19
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=13+17+19=49
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=249=24,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=24,5(24,5−13)(24,5−17)(24,5−19) S=11622,19=107,81
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=132⋅ 107,81=16,59 vb=b2 S=172⋅ 107,81=12,68 vc=c2 S=192⋅ 107,81=11,35
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 19172+192−132)=41°52′36" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 13⋅ 19132+192−172)=60°48′1" γ=180°−α−β=180°−41°52′36"−60°48′1"=77°19′22"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=24,5107,81=4,4
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 4,4⋅ 24,513⋅ 17⋅ 19=9,74
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 192−132=16,815 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 192+2⋅ 132−172=13,883 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 132+2⋅ 172−192=11,779
Vypočítat další trojúhelník