Trojúhelník 13 20 24

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 13
b = 20
c = 24

Obsah trojúhelníku: S = 129,98882206202
Obvod trojúhelníku: o = 57
Semiperimeter (poloobvod): s = 28,5

Úhel ∠ A = α = 32,79438229603° = 32°47'38″ = 0,5722360185 rad
Úhel ∠ B = β = 56,43548644036° = 56°26'5″ = 0,98549741968 rad
Úhel ∠ C = γ = 90,77113126361° = 90°46'17″ = 1,58442582719 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 19,99881877877
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 12,9998822062
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 10,83223517183

Těžnice: t_a = 21,11327923307
Těžnice: t_b = 16,50875740192
Těžnice: t_c = 11,85332695911

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,56109901972
Poloměr opsané kružnice: R = 12,00110874259

Souřadnice vrcholů: A[24; 0] B[0; 0] C[7,18875; 10,83223517183]
Těžiště: T[10,39658333333; 3,61107839061]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12; -0,16215531]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8,5; 4,56109901972]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 147,20661770397° = 147°12'22″ = 0,5722360185 rad
∠ B' = β' = 123,56551355964° = 123°33'55″ = 0,98549741968 rad
∠ C' = γ' = 89,22986873639° = 89°13'43″ = 1,58442582719 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 13 b = 20 c = 24

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 13 + 20 + 24 = 57

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 7}{2} = 28, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 28, 5 (28, 5 - 13) (28, 5 - 20) (28, 5 - 24) S = 16896, 94 = 129, 99

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 2 9 , 9 9}{1 3} = 20 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 2 9 , 9 9}{2 0} = 13 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 2 9 , 9 9}{2 4} = 10, 83

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 4 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 4}) = 32 ° 4 7^{'} 38 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 2 4 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 2 4}) = 56 ° 2 6^{'} 5 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 32 ° 4 7^{'} 38 " - 56 ° 2 6^{'} 5 " = 90 ° 4 6^{'} 17 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 2 9 , 9 9}{2 8 , 5} = 4, 56

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 3 \cdot 2 0 \cdot 2 4}{4 \cdot 4 , 5 6 1 \cdot 2 8 , 5} = 12

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 21, 113 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 16, 508 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 11, 853

Vypočítat další trojúhelník