Trojúhelník 14 17 17
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 14
b = 17
c = 17
Obsah trojúhelníku: S = 108,44435336938
Obvod trojúhelníku: o = 48
Semiperimeter (poloobvod): s = 24
Úhel ∠ A = α = 48,63114783424° = 48°37'53″ = 0,84987794172 rad
Úhel ∠ B = β = 65,68442608288° = 65°41'3″ = 1,14664066182 rad
Úhel ∠ C = γ = 65,68442608288° = 65°41'3″ = 1,14664066182 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 15,49219333848
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 12,75880627875
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 12,75880627875
Těžnice: ta = 15,49219333848
Těžnice: tb = 13,04879883507
Těžnice: tc = 13,04879883507
Poloměr vepsané kružnice: r = 4,51884805706
Poloměr opsané kružnice: R = 9,32774348921
Souřadnice vrcholů: A[17; 0] B[0; 0] C[5,76547058824; 12,75880627875]
Těžiště: T[7,58882352941; 4,25326875958]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8,5; 3,8410708485]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7; 4,51884805706]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 131,36985216577° = 131°22'7″ = 0,84987794172 rad
∠ B' = β' = 114,31657391712° = 114°18'57″ = 1,14664066182 rad
∠ C' = γ' = 114,31657391712° = 114°18'57″ = 1,14664066182 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=14 b=17 c=17
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=14+17+17=48
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=248=24
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=24(24−14)(24−17)(24−17) S=11760=108,44
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=142⋅ 108,44=15,49 vb=b2 S=172⋅ 108,44=12,76 vc=c2 S=172⋅ 108,44=12,76
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 17172+172−142)=48°37′53" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 14⋅ 17142+172−172)=65°41′3" γ=180°−α−β=180°−48°37′53"−65°41′3"=65°41′3"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=24108,44=4,52
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 4,518⋅ 2414⋅ 17⋅ 17=9,33
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 172−142=15,492 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 172+2⋅ 142−172=13,048 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 142+2⋅ 172−172=13,048
Vypočítat další trojúhelník