Trojúhelník 14 17 19
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 14
b = 17
c = 19
Obsah trojúhelníku: S = 114,89112529308
Obvod trojúhelníku: o = 50
Semiperimeter (poloobvod): s = 25
Úhel ∠ A = α = 45,3499014834° = 45°20'56″ = 0,79114896214 rad
Úhel ∠ B = β = 59,75109669494° = 59°45'3″ = 1,04328511045 rad
Úhel ∠ C = γ = 74.99000182166° = 74°54' = 1,30772519277 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 16,4133036133
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 13,51766179919
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 12,0943816098
Těžnice: ta = 16,61332477258
Těžnice: tb = 14,36114066163
Těžnice: tc = 12,33989626793
Poloměr vepsané kružnice: r = 4,59656501172
Poloměr opsané kružnice: R = 9,84397395029
Souřadnice vrcholů: A[19; 0] B[0; 0] C[7,05326315789; 12,0943816098]
Těžiště: T[8,68442105263; 4,03112720327]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9,5; 2,56332934839]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8; 4,59656501172]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 134,6510985166° = 134°39'4″ = 0,79114896214 rad
∠ B' = β' = 120,24990330506° = 120°14'57″ = 1,04328511045 rad
∠ C' = γ' = 105.10999817834° = 105°6' = 1,30772519277 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=14 b=17 c=19
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=14+17+19=50
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=250=25
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=25(25−14)(25−17)(25−19) S=13200=114,89
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=142⋅ 114,89=16,41 vb=b2 S=172⋅ 114,89=13,52 vc=c2 S=192⋅ 114,89=12,09
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 19172+192−142)=45°20′56" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 14⋅ 19142+192−172)=59°45′3" γ=180°−α−β=180°−45°20′56"−59°45′3"=74°54′
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=25114,89=4,6
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 4,596⋅ 2514⋅ 17⋅ 19=9,84
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 192−142=16,613 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 192+2⋅ 142−172=14,361 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 142+2⋅ 172−192=12,339
Vypočítat další trojúhelník