Trojúhelník 14 17 24

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 14
b = 17
c = 24

Obsah trojúhelníku: S = 116,80551261718
Obvod trojúhelníku: o = 55
Semiperimeter (poloobvod): s = 27,5

Úhel ∠ A = α = 34,93299246904° = 34°55'48″ = 0,61096421933 rad
Úhel ∠ B = β = 44,04986256741° = 44°2'55″ = 0,7698793549 rad
Úhel ∠ C = γ = 101,02114496355° = 101°1'17″ = 1,76331569113 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 16,6866446596
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 13,74217795496
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 9,73437605143

Těžnice: t_a = 19,58331560276
Těžnice: t_b = 17,71329895839
Těžnice: t_c = 9,92547166206

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,24774591335
Poloměr opsané kružnice: R = 12,22554908393

Souřadnice vrcholů: A[24; 0] B[0; 0] C[10,06325; 9,73437605143]
Těžiště: T[11,35441666667; 3,24545868381]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12; -2,33772261899]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[10,5; 4,24774591335]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 145,07700753096° = 145°4'12″ = 0,61096421933 rad
∠ B' = β' = 135,95113743259° = 135°57'5″ = 0,7698793549 rad
∠ C' = γ' = 78,97985503645° = 78°58'43″ = 1,76331569113 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 14 b = 17 c = 24

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 14 + 17 + 24 = 55

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 5}{2} = 27, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 27, 5 (27, 5 - 14) (27, 5 - 17) (27, 5 - 24) S = 13643, 44 = 116, 81

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 1 6 , 8 1}{1 4} = 16, 69 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 1 6 , 8 1}{1 7} = 13, 74 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 1 6 , 8 1}{2 4} = 9, 73

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 2 4 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 2 4}) = 34 ° 5 5^{'} 48 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 2 4 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 2 4}) = 44 ° 2^{'} 55 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 34 ° 5 5^{'} 48 " - 44 ° 2^{'} 55 " = 101 ° 1^{'} 17 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 1 6 , 8 1}{2 7 , 5} = 4, 25

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 4 \cdot 1 7 \cdot 2 4}{4 \cdot 4 , 2 4 7 \cdot 2 7 , 5} = 12, 23

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 19, 583 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 17, 713 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 9, 925

Vypočítat další trojúhelník