Trojúhelník 14 19 22
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 14
b = 19
c = 22
Obsah trojúhelníku: S = 131,7421935237
Obvod trojúhelníku: o = 55
Semiperimeter (poloobvod): s = 27,5
Úhel ∠ A = α = 39,07655206502° = 39°4'32″ = 0,68219964923 rad
Úhel ∠ B = β = 58,81113776665° = 58°48'41″ = 1,02664521779 rad
Úhel ∠ C = γ = 82,11331016833° = 82°6'47″ = 1,43331439834 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 18,82202764624
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 13,86875721302
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 11,9776539567
Těžnice: ta = 19,32661480901
Těžnice: tb = 15,80334806293
Těžnice: tc = 12,5549900398
Poloměr vepsané kružnice: r = 4,79106158268
Poloměr opsané kružnice: R = 11,10550440952
Souřadnice vrcholů: A[22; 0] B[0; 0] C[7,25; 11,9776539567]
Těžiště: T[9,75; 3,99221798557]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11; 1,52438124416]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8,5; 4,79106158268]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 140,92444793498° = 140°55'28″ = 0,68219964923 rad
∠ B' = β' = 121,18986223335° = 121°11'19″ = 1,02664521779 rad
∠ C' = γ' = 97,88768983167° = 97°53'13″ = 1,43331439834 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=14 b=19 c=22
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=14+19+22=55
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=255=27,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=27,5(27,5−14)(27,5−19)(27,5−22) S=17355,94=131,74
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=142⋅ 131,74=18,82 vb=b2 S=192⋅ 131,74=13,87 vc=c2 S=222⋅ 131,74=11,98
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 19⋅ 22192+222−142)=39°4′32" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 14⋅ 22142+222−192)=58°48′41" γ=180°−α−β=180°−39°4′32"−58°48′41"=82°6′47"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=27,5131,74=4,79
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 4,791⋅ 27,514⋅ 19⋅ 22=11,11
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 192+2⋅ 222−142=19,326 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 222+2⋅ 142−192=15,803 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 142+2⋅ 192−222=12,55
Vypočítat další trojúhelník