Trojúhelník 14 19 23

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 14
b = 19
c = 23

Obsah trojúhelníku: S = 132,81656617271
Obvod trojúhelníku: o = 56
Semiperimeter (poloobvod): s = 28

Úhel ∠ A = α = 37,43443500203° = 37°26'4″ = 0,65333526612 rad
Úhel ∠ B = β = 55,58326112896° = 55°34'57″ = 0,97700995739 rad
Úhel ∠ C = γ = 86,98330386902° = 86°58'59″ = 1,51881404185 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 18,9743665961
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 13,98105959713
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 11,54991879763

Těžnice: t_a = 19.98997487421
Těžnice: t_b = 16,5
Těžnice: t_c = 12,09333866224

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,74334164903
Poloměr opsané kružnice: R = 11,51659611458

Souřadnice vrcholů: A[23; 0] B[0; 0] C[7,91330434783; 11,54991879763]
Těžiště: T[10,30443478261; 3,85497293254]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11,5; 0,60661032182]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9; 4,74334164903]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 142,56656499797° = 142°33'56″ = 0,65333526612 rad
∠ B' = β' = 124,41773887104° = 124°25'3″ = 0,97700995739 rad
∠ C' = γ' = 93,01769613098° = 93°1'1″ = 1,51881404185 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 14 b = 19 c = 23

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 14 + 19 + 23 = 56

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 6}{2} = 28

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 28 (28 - 14) (28 - 19) (28 - 23) S = 17640 = 132, 82

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 2 , 8 2}{1 4} = 18, 97 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 2 , 8 2}{1 9} = 13, 98 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 2 , 8 2}{2 3} = 11, 55

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 9 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 1 9 \cdot 2 3}) = 37 ° 2 6^{'} 4 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 2 3}) = 55 ° 3 4^{'} 57 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 37 ° 2 6^{'} 4 " - 55 ° 3 4^{'} 57 " = 86 ° 5 8^{'} 59 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 2 , 8 2}{2 8} = 4, 74

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 4 \cdot 1 9 \cdot 2 3}{4 \cdot 4 , 7 4 3 \cdot 2 8} = 11, 52

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 19, 9 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 16, 5 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 12, 093

Vypočítat další trojúhelník