Trojúhelník 14 19 24

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 14
b = 19
c = 24

Obsah trojúhelníku: S = 132,91551515065
Obvod trojúhelníku: o = 57
Semiperimeter (poloobvod): s = 28,5

Úhel ∠ A = α = 35,65990876961° = 35°39'33″ = 0,62223684886 rad
Úhel ∠ B = β = 52,29441992062° = 52°17'39″ = 0,91327059558 rad
Úhel ∠ C = γ = 92,04767130977° = 92°2'48″ = 1,60765182092 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 18,98878787866
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 13,99110685796
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 11,07662626255

Těžnice: t_a = 20,48216991483
Těžnice: t_b = 17,19773835219
Těžnice: t_c = 11,59774135047

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,66436895265
Poloměr opsané kružnice: R = 12,00876603902

Souřadnice vrcholů: A[24; 0] B[0; 0] C[8,56325; 11,07662626255]
Těžiště: T[10,85441666667; 3,69220875418]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12; -0,42988450139]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9,5; 4,66436895265]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 144,34109123039° = 144°20'27″ = 0,62223684886 rad
∠ B' = β' = 127,70658007938° = 127°42'21″ = 0,91327059558 rad
∠ C' = γ' = 87,95332869023° = 87°57'12″ = 1,60765182092 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 14 b = 19 c = 24

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 14 + 19 + 24 = 57

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 7}{2} = 28, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 28, 5 (28, 5 - 14) (28, 5 - 19) (28, 5 - 24) S = 17666, 44 = 132, 92

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 2 , 9 2}{1 4} = 18, 99 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 2 , 9 2}{1 9} = 13, 99 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 2 , 9 2}{2 4} = 11, 08

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 9 ^{2} + 2 4 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 1 9 \cdot 2 4}) = 35 ° 3 9^{'} 33 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 2 4 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 2 4}) = 52 ° 1 7^{'} 39 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 35 ° 3 9^{'} 33 " - 52 ° 1 7^{'} 39 " = 92 ° 2^{'} 48 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 2 , 9 2}{2 8 , 5} = 4, 66

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 4 \cdot 1 9 \cdot 2 4}{4 \cdot 4 , 6 6 4 \cdot 2 8 , 5} = 12, 01

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 20, 482 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 17, 197 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 11, 597

Vypočítat další trojúhelník