Trojúhelník 14 24 27

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 14
b = 24
c = 27

Obsah trojúhelníku: S = 167,6565711206
Obvod trojúhelníku: o = 65
Semiperimeter (poloobvod): s = 32,5

Úhel ∠ A = α = 31,16217524168° = 31°9'42″ = 0,54438751804 rad
Úhel ∠ B = β = 62,50770018946° = 62°30'25″ = 1,09109529886 rad
Úhel ∠ C = γ = 86,33112456886° = 86°19'52″ = 1,50767644846 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 23,95108158866
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 13,97113092672
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 12,41989415708

Těžnice: t_a = 24,56662369931
Těžnice: t_b = 17,84765682976
Těžnice: t_c = 14,27441024236

Poloměr vepsané kružnice: r = 5,15986372679
Poloměr opsané kružnice: R = 13,52877228773

Souřadnice vrcholů: A[27; 0] B[0; 0] C[6,4632962963; 12,41989415708]
Těžiště: T[11,15443209877; 4,14396471903]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[13,5; 0,86656132198]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8,5; 5,15986372679]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 148,83882475832° = 148°50'18″ = 0,54438751804 rad
∠ B' = β' = 117,49329981054° = 117°29'35″ = 1,09109529886 rad
∠ C' = γ' = 93,66987543114° = 93°40'7″ = 1,50767644846 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 14 b = 24 c = 27

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 14 + 24 + 27 = 65

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 5}{2} = 32, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 32, 5 (32, 5 - 14) (32, 5 - 24) (32, 5 - 27) S = 28108, 44 = 167, 66

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 6 7 , 6 6}{1 4} = 23, 95 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 6 7 , 6 6}{2 4} = 13, 97 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 6 7 , 6 6}{2 7} = 12, 42

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 4 ^{2} + 2 7 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 2 4 \cdot 2 7}) = 31 ° 9^{'} 42 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 2 7 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 2 7}) = 62 ° 3 0^{'} 25 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 31 ° 9^{'} 42 " - 62 ° 3 0^{'} 25 " = 86 ° 1 9^{'} 52 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 6 7 , 6 6}{3 2 , 5} = 5, 16

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 4 \cdot 2 4 \cdot 2 7}{4 \cdot 5 , 1 5 9 \cdot 3 2 , 5} = 13, 53

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 2 7 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 24, 566 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 17, 847 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2} = 14, 274

Vypočítat další trojúhelník