Trojúhelník 14 27 28

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 14
b = 27
c = 28

Obsah trojúhelníku: S = 185,6843702839
Obvod trojúhelníku: o = 69
Semiperimeter (poloobvod): s = 34,5

Úhel ∠ A = α = 29,42112427193° = 29°25'16″ = 0,51334975555 rad
Úhel ∠ B = β = 71,32878183712° = 71°19'40″ = 1,24549052788 rad
Úhel ∠ C = γ = 79,25109389095° = 79°15'3″ = 1,38331898193 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 26,52662432627
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 13,75443483584
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 13,26331216314

Těžnice: t_a = 26,59988721565
Těžnice: t_b = 17,54328047928
Těžnice: t_c = 16,32548277173

Poloměr vepsané kružnice: r = 5,38221363142
Poloměr opsané kružnice: R = 14,25500389617

Souřadnice vrcholů: A[28; 0] B[0; 0] C[4,48221428571; 13,26331216314]
Těžiště: T[10,82773809524; 4,42110405438]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14; 2,65877453619]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,5; 5,38221363142]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 150,57987572807° = 150°34'44″ = 0,51334975555 rad
∠ B' = β' = 108,67221816288° = 108°40'20″ = 1,24549052788 rad
∠ C' = γ' = 100,74990610905° = 100°44'57″ = 1,38331898193 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 14 b = 27 c = 28

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 14 + 27 + 28 = 69

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 9}{2} = 34, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 34, 5 (34, 5 - 14) (34, 5 - 27) (34, 5 - 28) S = 34478, 44 = 185, 68

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 8 5 , 6 8}{1 4} = 26, 53 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 8 5 , 6 8}{2 7} = 13, 75 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 8 5 , 6 8}{2 8} = 13, 26

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 7 ^{2} + 2 8 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 2 7 \cdot 2 8}) = 29 ° 2 5^{'} 16 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 2 8 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 2 8}) = 71 ° 1 9^{'} 40 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 29 ° 2 5^{'} 16 " - 71 ° 1 9^{'} 40 " = 79 ° 1 5^{'} 3 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 8 5 , 6 8}{3 4 , 5} = 5, 38

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 4 \cdot 2 7 \cdot 2 8}{4 \cdot 5 , 3 8 2 \cdot 3 4 , 5} = 14, 25

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 ^{2} + 2 \cdot 2 8 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 26, 599 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2} = 17, 543 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 2 7 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2} = 16, 325

Vypočítat další trojúhelník