Trojúhelník 15 15 25
Tupouhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 15
b = 15
c = 25
Obsah trojúhelníku: S = 103,64545246986
Obvod trojúhelníku: o = 55
Semiperimeter (poloobvod): s = 27,5
Úhel ∠ A = α = 33,55773097619° = 33°33'26″ = 0,58656855435 rad
Úhel ∠ B = β = 33,55773097619° = 33°33'26″ = 0,58656855435 rad
Úhel ∠ C = γ = 112,88553804762° = 112°53'7″ = 1,97702215667 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 13,81992699598
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 13,81992699598
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 8,29215619759
Těžnice: ta = 19,20328643697
Těžnice: tb = 19,20328643697
Těžnice: tc = 8,29215619759
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,76988918072
Poloměr opsané kružnice: R = 13,5688010506
Souřadnice vrcholů: A[25; 0] B[0; 0] C[12,5; 8,29215619759]
Těžiště: T[12,5; 2,7643853992]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12,5; -5,27664485301]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[12,5; 3,76988918072]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 146,44326902381° = 146°26'34″ = 0,58656855435 rad
∠ B' = β' = 146,44326902381° = 146°26'34″ = 0,58656855435 rad
∠ C' = γ' = 67,11546195238° = 67°6'53″ = 1,97702215667 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=15 b=15 c=25
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=15+15+25=55
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=255=27,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=27,5(27,5−15)(27,5−15)(27,5−25) S=10742,19=103,64
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=152⋅ 103,64=13,82 vb=b2 S=152⋅ 103,64=13,82 vc=c2 S=252⋅ 103,64=8,29
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 15⋅ 25152+252−152)=33°33′26" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 15⋅ 25152+252−152)=33°33′26" γ=180°−α−β=180°−33°33′26"−33°33′26"=112°53′7"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=27,5103,64=3,77
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,769⋅ 27,515⋅ 15⋅ 25=13,57
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 152+2⋅ 252−152=19,203 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 252+2⋅ 152−152=19,203 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 152+2⋅ 152−252=8,292
Vypočítat další trojúhelník