Trojúhelník 15 16 17

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 15
b = 16
c = 17

Obsah trojúhelníku: S = 109,98218166789
Obvod trojúhelníku: o = 48
Semiperimeter (poloobvod): s = 24

Úhel ∠ A = α = 53,96881209275° = 53°58'5″ = 0,94219214013 rad
Úhel ∠ B = β = 59,61100575507° = 59°36'36″ = 1,04403917716 rad
Úhel ∠ C = γ = 66,42218215218° = 66°25'19″ = 1,15992794807 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 14,66442422239
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 13,74877270849
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 12,93990372563

Těžnice: t_a = 14,70554411699
Těžnice: t_b = 13,89224439894
Těžnice: t_c = 12,97111217711

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,5832575695
Poloměr opsané kružnice: R = 9,2744260335

Souřadnice vrcholů: A[17; 0] B[0; 0] C[7,58882352941; 12,93990372563]
Těžiště: T[8,19660784314; 4,31330124188]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8,5; 3,7109704134]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8; 4,5832575695]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 126,03218790725° = 126°1'55″ = 0,94219214013 rad
∠ B' = β' = 120,39899424493° = 120°23'24″ = 1,04403917716 rad
∠ C' = γ' = 113,57881784782° = 113°34'41″ = 1,15992794807 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 15 b = 16 c = 17

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 15 + 16 + 17 = 48

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 8}{2} = 24

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 24 (24 - 15) (24 - 16) (24 - 17) S = 12096 = 109, 98

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 9 , 9 8}{1 5} = 14, 66 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 9 , 9 8}{1 6} = 13, 75 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 9 , 9 8}{1 7} = 12, 94

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 1 7}) = 53 ° 5 8^{'} 5 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 1 7}) = 59 ° 3 6^{'} 36 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 53 ° 5 8^{'} 5 " - 59 ° 3 6^{'} 36 " = 66 ° 2 5^{'} 19 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 9 , 9 8}{2 4} = 4, 58

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 1 6 \cdot 1 7}{4 \cdot 4 , 5 8 3 \cdot 2 4} = 9, 27

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 14, 705 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 13, 892 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 12, 971

Vypočítat další trojúhelník