Trojúhelník 15 16 26

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 15
b = 16
c = 26

Obsah trojúhelníku: S = 109,65114363791
Obvod trojúhelníku: o = 57
Semiperimeter (poloobvod): s = 28,5

Úhel ∠ A = α = 31,81444665509° = 31°48'52″ = 0,55552671911 rad
Úhel ∠ B = β = 34,21660511313° = 34°12'58″ = 0,59771827493 rad
Úhel ∠ C = γ = 113,96994823178° = 113°58'10″ = 1,98991427132 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 14,62201915172
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 13,70664295474
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 8,43547258753

Těžnice: t_a = 20,242228248
Těžnice: t_b = 19,66596032513
Těžnice: t_c = 8,45657672626

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,84774188203
Poloměr opsané kružnice: R = 14,22768998156

Souřadnice vrcholů: A[26; 0] B[0; 0] C[12,40438461538; 8,43547258753]
Těžiště: T[12,80112820513; 2,81215752918]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[13; -5,78796780501]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[12,5; 3,84774188203]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 148,18655334491° = 148°11'8″ = 0,55552671911 rad
∠ B' = β' = 145,78439488687° = 145°47'2″ = 0,59771827493 rad
∠ C' = γ' = 66,03105176822° = 66°1'50″ = 1,98991427132 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 15 b = 16 c = 26

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 15 + 16 + 26 = 57

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 7}{2} = 28, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 28, 5 (28, 5 - 15) (28, 5 - 16) (28, 5 - 26) S = 12023, 44 = 109, 65

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 9 , 6 5}{1 5} = 14, 62 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 9 , 6 5}{1 6} = 13, 71 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 9 , 6 5}{2 6} = 8, 43

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 2 6 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 2 6}) = 31 ° 4 8^{'} 52 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 6 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 6}) = 34 ° 1 2^{'} 58 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 31 ° 4 8^{'} 52 " - 34 ° 1 2^{'} 58 " = 113 ° 5 8^{'} 10 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 9 , 6 5}{2 8 , 5} = 3, 85

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 1 6 \cdot 2 6}{4 \cdot 3 , 8 4 7 \cdot 2 8 , 5} = 14, 23

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 20, 242 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 19, 66 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 8, 456

Vypočítat další trojúhelník