Trojúhelník 15 17 18

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 15
b = 17
c = 18

Obsah trojúhelníku: S = 118,3221595662
Obvod trojúhelníku: o = 50
Semiperimeter (poloobvod): s = 25

Úhel ∠ A = α = 50,6555112747° = 50°39'18″ = 0,88440985004 rad
Úhel ∠ B = β = 61,21877953194° = 61°13'4″ = 1,06884520891 rad
Úhel ∠ C = γ = 68,12770919336° = 68°7'38″ = 1,18990420641 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 15,77662127549
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 13,92201877249
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 13,14768439624

Těžnice: t_a = 15,81992920196
Těžnice: t_b = 14,22114626533
Těžnice: t_c = 13,26664991614

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,73328638265
Poloměr opsané kružnice: R = 9,6988145073

Souřadnice vrcholů: A[18; 0] B[0; 0] C[7,22222222222; 13,14768439624]
Těžiště: T[8,40774074074; 4,38222813208]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9; 3,6133034439]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8; 4,73328638265]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 129,3454887253° = 129°20'42″ = 0,88440985004 rad
∠ B' = β' = 118,78222046806° = 118°46'56″ = 1,06884520891 rad
∠ C' = γ' = 111,87329080664° = 111°52'22″ = 1,18990420641 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 15 b = 17 c = 18

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 15 + 17 + 18 = 50

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 0}{2} = 25

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 25 (25 - 15) (25 - 17) (25 - 18) S = 14000 = 118, 32

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 1 8 , 3 2}{1 5} = 15, 78 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 1 8 , 3 2}{1 7} = 13, 92 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 1 8 , 3 2}{1 8} = 13, 15

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 1 8}) = 50 ° 3 9^{'} 18 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 1 8}) = 61 ° 1 3^{'} 4 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 50 ° 3 9^{'} 18 " - 61 ° 1 3^{'} 4 " = 68 ° 7^{'} 38 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 1 8 , 3 2}{2 5} = 4, 73

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 1 7 \cdot 1 8}{4 \cdot 4 , 7 3 3 \cdot 2 5} = 9, 7

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 15, 819 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 14, 221 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 13, 266

Vypočítat další trojúhelník