Trojúhelník 15 17 19

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 15
b = 17
c = 19

Obsah trojúhelníku: S = 121,62772481807
Obvod trojúhelníku: o = 51
Semiperimeter (poloobvod): s = 25,5

Úhel ∠ A = α = 48,86604895851° = 48°51'38″ = 0,85327764174 rad
Úhel ∠ B = β = 58,59771135386° = 58°35'50″ = 1,02327125634 rad
Úhel ∠ C = γ = 72,54223968763° = 72°32'33″ = 1,26661036728 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 16,21769664241
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 14,30990880213
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 12,80328682295

Těžnice: t_a = 16,39435963108
Těžnice: t_b = 14,85876579581
Těžnice: t_c = 12,91331715701

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,77696960071
Poloměr opsané kružnice: R = 9,95987059489

Souřadnice vrcholů: A[19; 0] B[0; 0] C[7,81657894737; 12,80328682295]
Těžiště: T[8,93985964912; 4,26876227432]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9,5; 2,98876117847]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8,5; 4,77696960071]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 131,14395104149° = 131°8'22″ = 0,85327764174 rad
∠ B' = β' = 121,40328864614° = 121°24'10″ = 1,02327125634 rad
∠ C' = γ' = 107,45876031237° = 107°27'27″ = 1,26661036728 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 15 b = 17 c = 19

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 15 + 17 + 19 = 51

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 1}{2} = 25, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 25, 5 (25, 5 - 15) (25, 5 - 17) (25, 5 - 19) S = 14793, 19 = 121, 63

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 2 1 , 6 3}{1 5} = 16, 22 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 2 1 , 6 3}{1 7} = 14, 31 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 2 1 , 6 3}{1 9} = 12, 8

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 1 9 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 1 9}) = 48 ° 5 1^{'} 38 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 1 9 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 1 9}) = 58 ° 3 5^{'} 50 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 48 ° 5 1^{'} 38 " - 58 ° 3 5^{'} 50 " = 72 ° 3 2^{'} 33 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 2 1 , 6 3}{2 5 , 5} = 4, 77

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 1 7 \cdot 1 9}{4 \cdot 4 , 7 7 \cdot 2 5 , 5} = 9, 96

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 16, 394 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 14, 858 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 12, 913

Vypočítat další trojúhelník