Trojúhelník 15 17 22

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 15
b = 17
c = 22

Obsah trojúhelníku: S = 127,27992206136
Obvod trojúhelníku: o = 54
Semiperimeter (poloobvod): s = 27

Úhel ∠ A = α = 42,89334830421° = 42°53'37″ = 0,74986325067 rad
Úhel ∠ B = β = 50,47988036414° = 50°28'44″ = 0,8811021326 rad
Úhel ∠ C = γ = 86,62877133166° = 86°37'40″ = 1,51219388208 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 16,97105627485
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 14,97440259545
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 11,57108382376

Těžnice: t_a = 18,17327818454
Těžnice: t_b = 16.88002976164
Těžnice: t_c = 11,66219037897

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,71440452079
Poloměr opsané kružnice: R = 11,01990806735

Souřadnice vrcholů: A[22; 0] B[0; 0] C[9,54554545455; 11,57108382376]
Těžiště: T[10,51551515152; 3,85769460792]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11; 0,64881812161]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[10; 4,71440452079]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 137,10765169579° = 137°6'23″ = 0,74986325067 rad
∠ B' = β' = 129,52111963586° = 129°31'16″ = 0,8811021326 rad
∠ C' = γ' = 93,37222866834° = 93°22'20″ = 1,51219388208 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 15 b = 17 c = 22

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 15 + 17 + 22 = 54

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 4}{2} = 27

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 27 (27 - 15) (27 - 17) (27 - 22) S = 16200 = 127, 28

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 2 7 , 2 8}{1 5} = 16, 97 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 2 7 , 2 8}{1 7} = 14, 97 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 2 7 , 2 8}{2 2} = 11, 57

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 2 2}) = 42 ° 5 3^{'} 37 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 2}) = 50 ° 2 8^{'} 44 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 42 ° 5 3^{'} 37 " - 50 ° 2 8^{'} 44 " = 86 ° 3 7^{'} 40 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 2 7 , 2 8}{2 7} = 4, 71

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 1 7 \cdot 2 2}{4 \cdot 4 , 7 1 4 \cdot 2 7} = 11, 02

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 18, 173 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 16, 8 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 11, 662

Vypočítat další trojúhelník